Aloha :)
Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus anwendest, erhältst du ein lineares Ausgleichsproblem. Diese Methode ist jedoch ungeeignet für echte Auswertungen, weil kleine Messwerte dabei stärker gewichtet werden als große Messwerte, und die großen Messwerte sind in der Regel auch noch die genaueren. Aber da die Methode hier ausdrücklich verlangt wurde, führen wir sie durch (obwohl mir das als Physiker schon ein bisschen weh tut.)$$N(t)=N_0\cdot2^{\lambda\,t}$$$$\ln(N(t))=\ln\left(N_0\cdot2^{\lambda\,t}\right)=\ln(N_0)+\ln\left(2^{\lambda\,t}\right)=\ln(N_0)+\lambda\,t\,\ln(2)$$$$\underbrace{\ln(N(t))}_{=y(t)}=\underbrace{\ln(N_0)}_{=a}+\underbrace{\lambda\ln(2)}_{=b}\cdot t$$Aus den Parametern \(a\) und \(b\) können wir dann am Ende \(N_0\) und \(\lambda\) bestimmen:$$N_0=e^a\quad;\quad\lambda=\frac{b}{\ln(2)}$$Unsere Modellfunktion lautet also:$$y=a+b\cdot t\quad;\quad y=\ln(N(t)$$Mit den Messwerten finden wir folgendes Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}a &+& b &=& \ln(4)\\a &+ & 4b &=& \ln(13)\\a &+& 7b &=& \ln(24)\\ a &+ & 10b &=& \ln(45)\\a &+& 15b &=& \ln(80)\end{array}$$Das ist ein überbestimmtes Geichungssystem (mehr Gleichungen als Unbekannte), das wir im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate optimal lösen können:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 \\ 1 & 4 \\1 & 7 \\ 1 & 10\\1 & 15\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}\ln(4)\\\ln(13)\\\ln(24)\\\ln(45)\\\ln(80)\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 7 & 10 & 15\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1 \\ 1 & 4 \\1 & 7 \\ 1 & 10\\1 & 15\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 7 & 10 & 15\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}\ln(4)\\\ln(13)\\\ln(24)\\\ln(45)\\\ln(80)\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}5 & 37\\37 & 391\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}15,317987\\137,689493\end{array}\right)$$$$\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}5 & 37\\37 & 391\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}15,317987\\137,689493\end{array}\right)=\binom{1,526999}{0,207648}$$Dieses Ergebnis rechnen wir in die ursprünglichen Parameter um:$$N_0=e^a\approx4,604339\quad;\quad\lambda=\frac{b}{\ln(2)}\approx0,299573$$Also lautet unsere Regressinsformel:$$\boxed{N(t)=4,6\cdot2^{0,3\cdot t}}$$Die Verdopplungszeit\(T_2\) beträgt:$$2N_0=N_0\cdot 2^{0,3T_2}\quad\Rightarrow\quad0,3T_2=1\quad\Rightarrow\quad T_2\approx3,33$$
~plot~ {1|4};{4|13};{7|24};{10|45};{15|80};[[-1|17|-1|85]];4,6*2^(0,3x) ~plot~
