Komplex konjugiert über reellen Polynomen

Question

Aufgabe:

Es sei f ∈ R[t] ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie: Für jede komplexe Zahl z ∈ C gilt

f(z^) = f(z)^

Die Dächer sollen ausdrücken, dass der Ausdruck komplex konjugiert wird. Also quasi Überstriche. Schaffe das leider grad nicht besser mit der Darstellung.

Jedenfalls fehlt mir grade der Schritt, um das allgemein zu zeigen. Ich habe es mit einzelnen Polynomen bis zum dritten Grad getestet und es stimmt, aber wie kann ich das jetzt verallgemeinern? Nur durch Induktion? Das müsste doch auch trivialer zu zeigen sein. Danke für jegliche Hilfe im Voraus :)

Comments

Wegen der Darstellung lohnt es sich vielleicht LaTeX zu kennen: https://www.matheretter.de/rechner/latex.

Answer 1

Hallo,

es genügt zu zeigen, dass \( \overline{z}^n = \overline{z^n} \).

Wir zeigen dies durch Induktion. Der Fall \( n = 1 \) ist schnell identifiziert.

Mit der Induktionsvoraussetzung \( \overline{z}^n = \overline{z^n} \) erhält man

\( \overline{z}^{n+1} = \overline{z^n} \overline{z} \)
\( = \overline{z^n z} \)
\( = \overline{z^{n+1}} \).

Hier nutzten wir \( \overline{z z'} = \overline{z} \overline{z'} \), was wegen

\( zz' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + (ab'+a'b)i - bb' \),
\( \overline{z}\overline{z'} = (a - bi)(a' - b'i) = aa' - (ab'+a'b)i - bb' \)

gilt.

Grüße

Mister

Comments

Ah super vielen dank, das habe ich soweit verstanden. Kannst du mir eventuell noch kurz erklären, warum es genügt das mit dem zⁿ zu zeigen?

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Das genügt zu zeigen, weil ein Polynom die Form

\( f(z) = \sum_{i=0}^n a_i z^i \)

hat. Zieht man die Linearität der komplexen Konjugation,

\( \overline{a + bi + a' + b'i} = a - bi + a' - b'i = \overline{a + bi} + \overline{a' + b'i} \)

zu Rate, so ergibt sich

\( \overline{f(z)} = \sum_{i=0}^n \overline{a_i z^i} \).

Wegen der oben benannten Regel \( \overline{zz'} = \overline{z}\overline{z'} \) kann man schreiben

\( \overline{f(z)} = \sum_{i=0}^n \overline{a_i} \overline{z^i} \).

Schließlich, weil \( a_i \) reell ist, ergibt sich

\( \overline{f(z)} = \sum_{i=0}^n a_i \overline{z^i} \).

Es verbleibt also noch zu zeigen:

\( \overline{z^i} = \overline{z}^i \).

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Okay, besten Dank!