Partielle Ableitung zweiter Ordnung, warum D1D2 f(0,0) ungleich D2D1 f(0,0) ist.

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 1(6 \text { Punkte }) \) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ \left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left\{\begin{array}{cc} \frac{x_{1} x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0, & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. $$
stetig und zweimal partiell differenzierbar ist. Berechnen Sie den Gradienten von \( f \) und
$$ \text { zeigen Sie: } D_{1} D_{2} f(0,0) \neq D_{2} D_{1} f(0,0) $$

Problem/Ansatz:

Ich habe nur das Problem zu berechnen, warum hier \[\text { zeigen Sie: } D_{1} D_{2} f(0,0) \neq D_{2} D_{1} f(0,0)\] gelten sollte. Denn ich hab das ausgerechnet und da kommen bei beiden die 0 raus. Mache ich hier etwas falsch ? Ich brauche hier nur ein Kontrollwert, wo ich meins abgleichen kann. Alles andere sollte ich haben. Wenn richtig.

Answer 1

Hallo,

es ist:$$\partial _2 \partial _1 f(0,0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\partial _1 f(0,t)-\partial _1 f(0,0)}{t} \\ \text{bzw. }  \, \partial_1 \partial_2f(0,0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\partial _2 f(t,0) - \partial_2 f(0,0)}{t}$$ Damit gilt zum einen:$$\partial _2 \partial _1 f(0,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{-\frac{t^3(0-t^2)}{(0+t^2)^2}-0}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{t}=\lim\limits_{t\to 0}1=1$$ und zum anderen:$$\partial_1 \partial_2f(0,0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{0 - 0}{t}=\lim\limits_{t\to 0}0=0$$ Also insgesamt \(\partial_1 \partial_2f(0,0)=0\neq 1=\partial _2 \partial _1f(0,0)\).