Ebenen- Koordinatensystem- Raute

Question

Aufgabe:

21 Gegeben ist ein Viereck \( A B C D \) mit \( A(1|3| 3), B(3|7| 1), C(-1|9| 3) \) und \( D(-3|5| 5) \).
a) Zeichnen Sie das Viereck in ein Achsenkreuz. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seiten \( A B \) und \( A D \).

b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass \( A B C D \) eine Raute ist.

c) Geben Sie die Gleichung der Ebene \( E_{A B D} \) an, in welcher die Raute liegt. Berechnen Sie den Schnittpunkt \( S \) von \( E_{A B D} \) und der Geraden

\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)

d) Legt man in der Ebene \( E_{A B D} \) an die Raute \( A B C D \) weitere solche Rauten an, so erhält man eine Parkettierung der Ebene \( E_{A B D} \). In welcher dieser Rauten liegt der Schnittpunkt \( S \) aus Aufg. c)? (Begründung anhand der Rechnung.) Tragen Sie \( S \) und die entsprechende Raute in die Skizze ein.

Problem/Ansatz:

 Kann mir jemand bitte bei a-c helfen? Ich verstehe die Aufgaben nicht. Welche Rechenwege muss ich genau errechen?

Danke für die Antworten!!

Answer 1

Hallo,

a) berechne den Winkel mit der Formel

$$cos(\alpha)=\frac{\vec{AB\circ \vec{AD}}}{|\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|}$$

b) Zeige, dass \(\vec{AB}=\vec{DC}\text{ und }\vec{AC}\cdot \vec{BD}=0\)

c) Erstelle eine Parametergleichung der Ebene mit \(E:\vec{x}=\vec{OA}+r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AD}\), setze diese mit der Geradengleichung gleich und löse das Gleichungssystem, um den Schnittpunkt S zu bestimmen.

Answer 2

Winkel zwischen \( \vec{AB} \) und \( \vec{AD} \) :

\( \vec{AB} \)=\begin{pmatrix} 2\\4\\-2 \end{pmatrix}; \( \vec{AD} \) =\( \begin{pmatrix} -4\\2\\2 \end{pmatrix} \).

cos(α)=\( \frac{\vec{AB}·\vec{AD}}{|\vec{AB}|·|\vec{AD}|} \) =\( \frac{-1}{12} \) .

α≈94,7°.

Comments

Bei mir kommt 99.6° raus. Ich habe cos-1(-4/√24 × √24) gerechnet. Wo könnte mei Fehler liegen?

Und vielen Dank für die Antwort! Es war sehr hilfreich

---

cos^-1(-4/√24 × √24)= cos^-1(-1/3) ≈109,5

So ist es jetzt richtig.