Konvergenz Potenzreihe berechnen

Question

ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher, wie ich sie lösen soll:

Zeigen Sie, dass die Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^kt^k\) innerhalb ihres Konvergenzradius gegen die Funktion \(f(t) = \frac{1}{1-2t}\) konvergiert, indem Sie die geometrischen Reihe verwenden!

Ich weiß, dass die geometrische Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} q^n\) gegen die Funktion \(f(q) = \frac{1}{1-q}\) konvergiert, bin mir allerdings unsicher, wie ich den Beweis führen soll.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Mir ist des Weiteren aufgefallen, dass bei der Anwendung des LaTeX mit der Nutzung der Dollarzeichen leider alle Formeln ist eine neue Reihe geschrieben werden.

Gibt es auch eine Möglichkeit, diese direkt im Text einzubinden?

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Ja, das geht mit \ ( Formel \ ), ohne Leerzeichen zwischen Backslash und Klammer.

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Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Aus der Summenformel für die geometrische Reihe \(\sum\limits_{k=0}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) folgt mit \(q=2t\):$$S_n:=\sum\limits_{k=0}^n2^kt^k=\sum\limits_{k=0}^n(2t)^k=\frac{1-(2t)^{n+1}}{1-(2t)}$$Für \(|q|<1\) bzw. \(2|t|<1\) konvergiert die Reihe gegen:$$S_\infty=\frac{1}{1-2t}\quad;\quad |t|<\frac{1}{2}$$

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Vielen, vielen Dank!