Konvergenz einer Potenzreihe zeigen

Question

Aufgabe:

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4k^2-1} $$

Ich soll die Konvergenz der obigen Reihe zeigen.

Problem/Ansatz:

Das notwendige Kriterium für Konvergenz ist erfüllt, aber die hinreichenden Kriterien machen mir Probleme. Das Quotientenkriterium ergibt \( a_k = \frac{1-\frac{1}{4k^2}}{1+\frac{3}{k}+\frac{3}{4k^2}} \), was mit \( \lim\limits_{k\to\infty} \) leider gegen 1 läuft und mir somit keine Aussage über die Konvergenz liefert.

Wurzel- und Leibnizkriterium scheinen hier auch ungeeignet. Im Umgang mit dem Majorantenkriterium bin ich ungeübt. Ich wüsste nicht, ob die konvergierende harmonische Reihe \( \frac{1}{k^2} \) als Majorantenreihe verwenden dürfte, und es mir dafür erlaubt ist einfach den Koeffizienten 4 immer Nenner zu streichen.

Die nächste Aufgabe war es den Wert der Reihe über Partialbruchzerlegung zu bestimmen, aber das ist mir gelungen.

Vielen Dank für die Hilfe! :o)

Answer 1

Mit Partialbruchzerlegung bekommt man \(\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})\).

Die \(n\)-te Partialsumme ergibt sich somit zu

\(\frac{1}{2}(\frac{1}{2-1}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{4-1}-\frac{1}{4+1}+-\cdots -\frac{1}{2n+1})=\)

\(\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})\rightarrow ???\) für \(n \rightarrow \infty \)

Da die Folge der Partialsummen offenbar konvergiert, hat man damit

nicht nur den Wert der Reihe, sondern auch ihre Konvergenz gezeigt.

Noch eine Bemerkung zur Verwendung des Majorantenkriteriums:

für \(k\geq 2\) gilt \(\frac{1}{4k^2-1}\leq \frac{1}{4k^2-8k+4}=\frac{1}{4}\frac{1}{(k-1)^2}\).

Nun kannst du das Majorantenkriterium anwenden.

Um das Majorantenkriterium hier anwenden zu können, musst du den

Nenner verkleinern, damit du einen größeren Bruch bekommst.