Lineare Algebra: Symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform. Zeige z.B. Isometrie

Question

Aufgabe:

Sei \( M \) ein Körper mit \( 1+1 \neq 0, V \) ein \( M \) -Vektorraum der Dimension \( n, \) und \( \Phi \) eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform. Es sei \( \varphi: V \rightarrow V \) eine (nicht als linear vorausgesetzte \( ) \) Abbildung mit \( \Phi(\varphi(v), \varphi(w))=\Phi(v, w) \) für alle \( v, w \in V . \) Zeigen Sie:

1) Es gibt eine Basis \( b=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) von \( V, \) so dass \( \left(\varphi\left(v_{1}\right), \ldots, \varphi\left(v_{n}\right)\right) \) ebenfalls eine Basis ist.
2) \( \varphi \) ist linear, also eine Isometrie von \( (V, \Phi) \)
3) Ist \( (V, \Phi) \) Euklidisch und \( \varphi: V \rightarrow V \) eine beliebige Abbildung, welche Längen und Winkel erhält, d.h. es gilt
$$ \|\varphi(v)\|=\|v\| \quad \text { und } \quad \sphericalangle(v, w)=\sphericalangle(\varphi(v), \varphi(w)) $$
für alle \( v, w \in V, \) so ist \( \varphi \) orthogonal. Dabei bezeichnet \( \sphericalangle(v, w) \) den Winkel zwischen Vektoren
$$ v, w \in V $$

Problem/Ansatz:

Ich versuche seit eine Woche die Aufgabe zu lösen ,aber ich habe die nicht ganz verstanden .Mag jemand mir bitte bei der Lösung zu helfen!

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zu 2.) Betrachte einfach mal beliebige \(\alpha, \beta \in M\) sowie beliebige \(v,w,x\in V \). Jetzt arbeite mit der definierten Bilinearform, indem du einfach folgendes einsetzt:

\(\Phi(\varphi(\alpha \cdot v+\beta \cdot w),\varphi(x))=\Phi(\alpha \cdot v+\beta \cdot w,x)=...=\Phi(\alpha \cdot \varphi(v)+\beta\cdot \varphi(w),\varphi(x)) \)

Nutze die Eigenschaften einer Bilinearform (insbesondere auch die hier gegebene \(\Phi(\varphi(v), \varphi(w))=\Phi(v, w)\)  ), um die Gleichungskette fertig zu bringen.

Comments

Vielen Dank !

Könntest du bitte noch einpaar Tipps für die andere Aufgaben geben?

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Zu 1.) Kennt ihr schon den Begriff Orthonormalbasis?

Bei 3.) bist du in einem euklidischen Vektorraum, d.h., du hast ein ℝ-Vektorraum mit einem Skalarprodukt \(\Phi\) (nur bei 3.) !). Sicherlich wirst du dann die Formel für die Berechnung des Winkels zweier Vektoren kennen:

$$ \sphericalangle(x, y)=\arccos\Bigg(\frac{\langle x,y \rangle}{\|x\|\cdot \|y\|} \Bigg) $$

Nun weißt du aus 3.), dass deine Abbildung \(\varphi:\ V \rightarrow V \) längen -und winkelerhaltend (längen -und winkeltreu klingt freundlicher ^^) ist. Es gilt also für alle \(v,w\in V\):

i)  \(\varphi(v)=\|v\|\)

ii)  \( \sphericalangle(v, w)=\sphericalangle(\varphi(v), \varphi(w))\)

Im Grunde steht jetzt eigentlich schon das dar, was du zeigen willst, denn du musst jetzt nur noch die Winkelformel benutzen und dann mit i) und ii) arbeiten.