Zeigen Sie, dass die Abbildung injektiv oder Surjektiv ist. (Gruppenhomomorphismus)

Question

Zeigen Sie, dass die Abbildung

φ: (ℂ^*, · ) → GL₂ (ℝ)  mit φ(a+bi) = \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \) ein Gruppenhomomorphismus ist. Entscheiden Sie ob φ injektiv oder surjektiv ist. Begründen Sie ihre Antwort.

ich wollte, dass über den Kern und das Bild begründen aber bin nicht sicher wie das genau über den Komplexen Zahlen funktioniert.

Weiß jemand wie man hier vorgeht?

 

Answer 1

Kern ist doch eine gute Idee:

Musst schauen, was aus

φ(a+bi) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)  folgt.

Doch wohl a=1 und b=0 , also auch a+bi = 1+0i=1, also das neutrale El. von C^*.

Demnach Kern(φ) = {1}, also injektiv.

Surjektiv aber nicht, denn es ist z.B

1    2
1    1

aus  GL₂ (ℝ) , aber offenbar kein Element von Bild(φ).

Du musst noch zeigen: Homomorphismus, dazu reicht ja

φ( (a+bi)*(c+di)) =  \( \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} c & -d\\ d & c \end{pmatrix}\)

Comments

ich dachte wenn der ker={0} ist, ist die Abbildung injektiv oder irre ich mich da ?