Taylorentwicklung harmonische Reihe

Question

Aufgabe:

ich studiere im 2. Semester Mathematik und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: „Bestimmen Sie den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe, indem Sie in die Taylorreihe des natürlichen Logarithmus für den Entwicklungspunkt \(t_{0} = 2/) berechnen!“

Daher habe ich zuerst die Taylorreihe berechnet und den Entwicklungspunkt eingesetzt:

1) Taylorreihe berechnen:

1.1) Explizite Ableitung bestimmen: \(f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} (n-1)x^{-n}\)

1.2) Taylorreihe berechnen: \(T_{f}(t) = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)}(1)(t-1)^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} (-1)^{k-1}(k-1)!*1^{-k}(t-1)^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)!}*(-1)^{k-1}(k-1)!*1*(t-1)^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k}*(-1)^{k-1} *(t-1)^k = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}(t-1)^k}{k}\)

2) Entwicklungspunkt einsetzen: \(\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}(t-2)^k}{k*2^k}\)

Sofern meine Ergebnisse stimmen, hatte ich nun die Idee, die Reihe, die die alternierende harmonische Reihe von der Taylorreihe des natürlichen Logarithmus unterscheidet, genauer zu beleuchten (also \(\sum \limits_{k=0}^{\infty} (\frac{t-2}{2})^k\).

Ich würde mich sehr über Hinweise freuen.

Answer 1

Ich hätte ja den Logarithmus um \( x_0 = 1 \) entwickelt und dann \( x = 2 \) eingesetzt. Denn die Taylorreihe für  \lnx) ) lautet ja $$  \ln(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{n} (x-1)^n $$ also $$  \ln(2) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{n}  $$ also die harmonische alternierende Reihe.

Comments

Natürlich, das habe ich irgendwie überlesen. Vielen Dank! Damit erübrigt sich natürlich meine Frage.