Aloha :)
Wenn im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, kann man das Integral sofort hinschreben, denn:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$Der Nenner ist hier \(x^2-4x+5\). Seine Ableitung ist \(2x-4\). Daher wird versucht, irgendwie den Zähler zu \(2x-4\) umzuformen:
$$\int\frac{x+5}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{x-2+7}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{\frac{1}{2}(2x-4)+7}{x^2-4x+5}dx$$$$=\int\left(\frac{\frac{1}{2}(2x-4)}{x^2-4x+5}dx+\frac{7}{x^2-4x+5}\right)$$Die Summe der beiden Brüche kannst du auf 2 Integrale aufteilen:$$=\int\frac{\frac{1}{2}(2x-4)}{x^2-4x+5}dx+\int\frac{7}{x^2-4x+5}=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{x^2-4x+5}dx+\int\frac{7}{x^2-4x+5}dx$$Das erste Integral kann man nun mit dem Logarithmus sofort hinschreiben.
Der 2-te Schritt macht natürlich überhaupt keinen Sinn, weil man sich die schöne Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) wieder kaputt macht. Das ist halt das Doofe, wenn man das den Rechner machen lässt. Der Rechenweg ist oft unnötig kompliziert, weil sich die Algorithmen auf Standard-Verfahren abstützen.
Ich hätte das Integral wie folgt gelöst:
$$\int\frac{x+5}{x^2-4x+5}dx=\int\frac{x+5}{x^2-4x+4+1}dx=\int\frac{x+5}{(x-2)^2+1}dx$$$$=\int\frac{x-2+7}{(x-2)^2+1}dx=\int\left(\frac{x-2}{(x-2)^2+1}+\frac{7}{(x-2)^2+1}\right)dx$$$$=\frac{1}{2}\int\frac{2(x-2)}{(x-2)^2+1}dx+\int\frac{7}{(x-2)^2+1}dx$$$$=\frac{1}{2}\ln\left(1+(x-2)^2\right)+7\arctan(x-2)+\text{const}$$
