Bestimmen Sie eine stetige Abbildung A: I → ℝ^{nxn} derart, dass alle x_{i} 1 < i < n, Lösungen von x = A(t)x sind

Question

Aufgabe:

Es seien \( I \) ein offenes Intervall und \( x_{1}, \ldots, x_{n}: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) stetig differenzierbare Funktionen derart, dass die Matrix $$ M(t):=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right) $$ für alle \( t \in I \) invertierbar ist.

Bestimmen Sie eine stetige Abbildung \( A: I \rightarrow \mathbb{R}^{nxn} \) derart, dass alle \( x_{i} \) \( 1 \leq i \leq n, \) Lösungen von \( \dot{x}=A(t) x \) sind.

Answer 1

Hallo,

wenn Du die Vektoren \(x_i'\) (ich benutze ' für Ableitung) als Spalten in der Matrix \(M'(t)\) zusammenfasst, erhältst Du die Matrizen-Gleichung

$$M'(t)=A(t)M(t).$$

Die kannst Du jetzt nach \(A\) auflösen.

Gruß