Bestimmen Sie die Parameter a und b derart, dass f eine stetige und differenzierbare Funktion ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktionf:R→R, x→f(x) = x^2−ln(a) für x≤2 und F8x) = x^3−6bx fürx >2 mit a, b > 0.
Bestimmen Sie die Parameter a und b derart, dass f eine stetige und differenzierbare Funktion ist.

Problem/Ansatz:

Steitigkeit ist gegeben für:
f(2) = g(2)

2^2-ln(a) = 2^3-6bx
4-ln(a) = 8-12b

Problem:

Ab diesem Punkt weiß ich nicht wirklich weiter. Habe bereits versucht mit multiplikation von e^ das ln(a) aufzulösen und komme dann irgendwann bei a=e^-4+e^12*b raus. Was aber alles noch weit Weg von der Lösung ist.

Differenzierbarkeit ist gegeben für:

f´(2) = g´(2)

2*2-1/a = 3*2^2-6*b

4-1/a = 12-6b

1/a=-8+6b

Hier habe ich auch das Problem das immer noch beide Parameter vorhanden sind und nicht durch ableiten weggefallen sind, sonst könnte ich ja einen Parameter errechene und in die Stetigkeitsfunktion einsetzen und entsprechend umformen.

Bin dankbar für eure Hilfe.

Kevin

Comments

Kannst du mal den Aufgabentext durchlesen und überarbeiten?

Answer 1

4-ln(a) = 8-12b
1/a=-8+6b
Ich habe die beiden Gleichungen nicht überprüft
aber du hast jetzt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten,
dies sollte lösbar sein.

4-ln(a) = 8-12b
1/a=-8+6b  | * 2

4-ln(a) = 8-12b
2/a=-16+12b  | addieren
----------------
4-ln(a) + 2/a = 24

-ln(a) + 2/a = 20
Algebraisch läßt sich das nicht lösen.
Newton Näherung
a = 0.1123

Comments

Ich sehe leider keine Editierfunktion. :(

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Und es gibt konkrete Lösungswerte.

a= 4/3

b= e^12

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Deine 1.Ableitung von f stimmt nicht

Überprüfe f und g nochmal im  Original-
fragetext
und schreib sie dann hierhin.

Answer 2

Hallo,

warum wird den die Konstante ln(a) bei dir abgeleitet zu 1/a?

Wenn du diesen Fehler korrigierst, kannst du die Variable b leicht bestimmen.

Comments

Die Ableitungsregel für ln(x) = 1/x.

Analog habe ich dann ln(a) abgeleitet.

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Es wird nach x abgeleitet, nicht nach a!

d/dx ln(a) =0

Answer 3

Aloha :)$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x^2-\ln(a) &\text{für} & x\le2\\x^3-6bx &\text{für}& x>2\end{array}\right.\quad;\quad a,b>0$$Die Besorgnis erregende Stelle ist \(x=2\), denn für \(x<2\) und \(x>2\) sind die Teilfunktionen jede für sich, unabhängig von \(a\) und \(b\) differenzierbar. An der Stelle \(x=2\) müssen die links- und die rechtsseitige Ableitung gleich sein:$$f'_{\rightarrow}(2)=\left[2x\right]_{x=2}=4$$$$f'_{\leftarrow}(2)=\left[3x^2-6b\right]_{x=2}=12-6b$$$$f'_{\rightarrow}(2)\stackrel{!}{=}f'_{\leftarrow}(2)\quad\Leftrightarrow\quad4=12-6b\quad\Leftrightarrow\quad6b=8\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$Zusätzlich muss die Funktion bei \(x=2\) stetig sein:$$2^2-\ln(a)\stackrel{!}{=}2^3-6b\cdot2=8-12b=8-16=-8$$$$\Leftrightarrow\quad\ln(a)=12\quad\Leftrightarrow\quad a=e^{12}$$Die Funktion ist also differenzierbar und stetig für \(a=e^{12}\) und \(b=\frac{4}{3}\).

Comments

Ich danke vielmals!

Das hat sehr geholfen.