stetige differenzierbare Funktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es genau eine beschränkte stetig differenzierbare Funktion x:]-1,1[ → ℝ  gibt, die die folgenden Gleichungen für alle t∈]-1,1[ erfüllt :

                                 x(0) = 2

                        d/dt x(t) = sin( t/3 * ( x(t/3) + x(2t/3) ) )

Problem/Ansatz:

Hallo, Guten Morgen.

Ich weiss eigentlich wie man eine beschränkte stetige differenzierbare Funktion zeigt. Man zeigt
dass
- die Funktion beschränkt ist
- links/rechst limes gleichheit prüfen
- Differenzierbarkeit prüfen.

Zumindest nur die weiß ich. Aber hier schaffe ich leider es nicht. Höchstwahrscheinlich muss man hier irgendwie anders zeigen oder vielleicht auch mit Tricks. Aber ich habe es leider nicht geschafft. Kann jemand mir bitte behilflich sein?

Vielen Dank

Comments

Angenommen ein solches x existiert. Dann ist

d/dt x(t) = sin( t/3 * ( x(t/3) + x(2t/3) ) ) 

für alle t im Definitionsbereich. Dadurch wird ja gefordert, dass du die Funktion x überall ableiten kannst. Also muss sie zwingend differenzierbar sein. Differenzierbare Funktionen sind immer stetig, also ist x auch stetig

Verkettungen, Summe und Produkt von stetigen Funktionen sind stetig. Die Funktion auf der rechten Seite ist also stetig. Somit ist die Ableitung von x überall stetig => x stetig diffbar.

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Du siehst dass die Ableitung beschränkt ist. Der Sinus liegt immer zwischen -1 und 1.

Wenn f nicht beschränkt wäre würdest du für zB c=42 ein t finden mit x(t)>42 oder x(t)<-42.

Außerdem ist x(0)=2. Jetzt Mittelwertsatz drauf werfen und zum Widerspruch führen.

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Existenz und Eindeutigkeit zB mit Picard-Lindelöf

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über Existenz und Eindeutigkeit denk ich nochmal nach...

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Vielen Dank. Es ist schon hier hilfreich

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Schade, dass sich auch niemand anderes meldet. In welchem Rahmen/welcher Vorlesung wurde die Aufgabe denn gestellt?

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Hinweis (siehe unten): Lösung ist falsch, weil ich die Aufgabe falsch gelesen habe.

Hallo,

zur Existenz / Eindeutigkeit geht vielleicht Folgendes. Das Problem ist äquivalent zu

$$x(t)=2+Lx(t) \text{  mit } Lx(t):=\int_0^t \sin(s/3)(x(s/3)+x(2s/3)) ds$$

Ich betrachte L als linearen Operator auf C([-1,1]). Wegen

$$|Lx(t)| \leq \int_0^{|t|} \sin(s/3)ds \cdot 2 \|x\|_{\infty}\leq \int_0^{|t|} (s/3)ds \cdot 2 \|x\|_{\infty} \leq \frac{1}{3}  \|x\|_{\infty}$$

ist L beschränkt mit Operatornorm kleiner als 1. Also existiert \((I-L)^{-1}\).

Fragen:

1. Stimmt das?

2. Hat das etwas mit Deiner Vorlesung zu tun, mdg9999?

Gruß Mathhilf

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Die summe x(t/3)+x(2t/3) steht doch auch im Sinus oder?

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Ja, wo Du es sagst, sehe ich es auch, habe es als Lösung gestrichen.

Gruß Mathhilf

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Bevor ich es nochmal versuche, die Frage an den Fragesteller: Habt Ihr den Banachschen Fixpunktsatz besprochen?

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Ja, wir schon den Banaschen Fixpunktsatz besprochen

Answer 1

Also versuche ich es nochmal mit dem Fixpunktproblem

$$x=T(x):=2+F(x), \text{  mit } F(x)(t):=\int_0^t \sin \left[\frac{1}{3}s(x(\frac{1}{3}s)+x(\frac{2}{3}s)) \right]ds$$

Als metrischen Raum nehme ich die Menge M aller stetigen Funktion \(x:[-1,1] \to [1,3]\) als Teilmenge der stetigen Funktionen mit der Supremums-Norm.

1. T bildet M in sich ab:

$$|F(x)(t)| \leq \int_0^{|t|} |\sin (...)| ds \leq \int_0^{|t|} 1 ds \leq 1$$

2. T ist eine Kontraktion:

Wir benutzen:

$$|\sin(s)-\sin(t)| \leq |s-t|$$

und wenden das auf den Integranden an:

$$\left| \sin \left[\frac{1}{3}s(x(\frac{1}{3}s)+x(\frac{2}{3}s)) \right]-\sin \left[\frac{1}{3}s(y(\frac{1}{3}s)+y(\frac{2}{3}s)) \right] \right|$$

$$ \leq  \frac{1}{3}|s| \left |(x(\frac{1}{3}s)-y(\frac{1}{3}s)+x(\frac{2}{3}s))-y(\frac{2}{3}s) \right|$$

$$\leq \frac{2}{3}|s| \|x-y\|_{\infty}$$

Daher

$$|F(x)(t)-F(y)(t)| \leq \int_0^{|t|} \frac{2}{3}|s| \|x-y\|_{\infty} ds \leq \frac{1}{3} \|x-y\|_{\infty} $$

Gruß Mathhilf