Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses ist allgemein:$$p=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}$$Hier hast du 12 Eier, 2 davon sind faul, und du sollst 4 auswählen.
a) Kein ausgewähltes Ei ist faul
Von den 2 faulen Eiern musst du 0 auswählen, dafür gibt es \(\binom{2}{0}\) Möglichkeiten. Von den 10 guten Eiern, musst du 4 auswählen, dafür gibt es \(\binom{10}{4}\) Möglichkeiten. Das sind insgesamt \(\binom{2}{0}\cdot\binom{10}{4}\) günstige Fälle. Insgesamt gibt es \(\binom{12}{4}\) Möglichkeiten, aus 12 Eiern genau 4 auszuwählen. Damit haben wir:
$$p(0\text{ faule Eier})=\frac{\binom{2}{0}\cdot\binom{10}{4}}{\binom{12}{4}}=\frac{1\cdot210}{495}\approx42,42\%$$
b) Mindestens ein ausgewähltes Ei ist faul
Das ist das Gegenereignis zum vorigen Fall, dass kein Ei faul ist, daher gilt:$$p(\text{min. \(1\) faules Ei})=1-p(0\text{ faule Eier})\approx57,58\%$$
c) Genau ein ausgewähltes Ei ist faul
Von den 2 faulen Eiern musst du 1 auswählen, dafür gibt es \(\binom{2}{1}\) Möglichkeiten. Von den 10 guten Eiern, musst du 3 auswählen, dafür gibt es \(\binom{10}{3}\) Möglichkeiten. Das sind insgesamt \(\binom{2}{1}\cdot\binom{10}{3}\) günstige Fälle. Insgesamt gibt es \(\binom{12}{4}\) Möglichkeiten, aus 12 Eiern genau 4 auszuwählen. Damit haben wir:$$p(=1\text{ faules Ei})=\frac{\binom{2}{1}\cdot\binom{10}{3}}{\binom{12}{4}}=\frac{2\cdot120}{495}\approx48,48\%$$
Unter dem Stichwort "hypergeometrische Verteilung" solltest du weitere Informationen zu dieser Art Aufgaben finden.
