Aloha :)
zu d) Darstellung der Standard-Hyperbel
$$\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2$$$$=\frac{e^{2t}+2e^te^{-t}+e^{-2t}}{2}-\frac{e^{2t}-2e^te^{-t}+e^{-2t}}{2}=\frac{4e^te^{-t}}{4}=1$$Daher ist durch$$x=\cosh(t)\quad;\quad y=\sinh(t)$$eine mögliche Parametrisierung der Hyperbel \(x^2-y^2=1\) gegeben.
zu e) Berechnung der Ableitungen
Wir nutzen aus, dass sich die Wirkung einer Funktion und einer Umkehrfunktion auf ein Argument \(x\) gegenseitig aufheben:$$\cosh(\operatorname{arcosh}(x))=x\quad;\quad\sinh(\operatorname{arsinh}(x))=x$$Wir leiten links und rechts vom Gleichheitszeichen ab und verwenden links die Kettenregel:
$$\sinh(\operatorname{arcosh}(x))\cdot\operatorname{arcosh'(x)}=1\quad;\quad\cosh(\operatorname{arsinh}(x))\cdot\operatorname{arsinh'(x)}=1$$$$\operatorname{arcosh'(x)}=\frac{1}{\sinh(\operatorname{arcosh}(x))}\quad;\quad\operatorname{arsinh'(x)}=\frac{1}{\cosh(\operatorname{arsinh}(x))}$$Unter d) haben wir gezeigt, dass$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$$gilt. Daher gilt auch:$$\operatorname{arcosh'(x)}=\frac{1}{\sqrt{\cosh^2(\operatorname{arcosh}(x))-1}}\;\;;\;\;\operatorname{arsinh'(x)}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^2(\operatorname{arsinh}(x))+1}}$$$$\operatorname{arcosh'(x)}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad;\quad\operatorname{arsinh'(x)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
