Isomorphismus zwischen Restklassen

Question

Hallo, ich muss zeigen, dass:

$$(\mathbb{Z}_3,+)\times(\mathbb{Z}_4,+)$$ isomorph zu $$(\mathbb{Z}_{12},+)$$ ist.

Leider verstehe ich nicht einmal genau, was das kartesische Produkt dort zu suchen hat oder wie ich einen bijektiven Homomorphismus suchen soll.

Bitte Hilfe :=)

Answer 1

Das kartesische Produkt bedeutet doch nur:

Du hast Paare mit 1. Komponente in ℤ₃ und zweiter in ℤ₄.

Wenn du jedem solchen Paar (a,b) zuordnest  b+4a

erhältst du den gewünschten Isomorphismus.

Comments

(0,2)↦2 und (1,0)↦2.

---

Hab 2 und 4 verwechselt.

Korrigiere ich.

---

Jetzt ist es zwar (im besten Fall, je nach Definition von Z_p scheitert es an der Wohldefiniertheit) bijektiv, aber immer noch kein Homomorphismus.

Der Isomorphismus ist:

([a]₃,[b]₄) ↦ [4*a + 9*b]₁₂

Oder viel einfacher die umgekehrte Richtung:

[x]₁₂ ↦ ([x]₃, [x]₄)