Erkennen der Vielfachheit der Nullstellen: f(x)=x^4-6x^3+5x^2

Question

Nullstellen bei x=0 x=5 x=1

f(x)=x⁴-6x³+5x²

 

Woher weiß ich, dass bspw x₂,₃=5 sind und x₄=1 könnte es nicht x₂=5 und x₃,₄=1 sein?

Answer 1

Hi,

es ist weder das eine noch das andere:

x⁴-6x³+5x² = x^2(x^2-6x+5) = x^2(x-5)(x-1)

Am Exponenten kannst Du die Vielfachheit ablesen. Es ist

x_1,2 = 0 und die anderen sind nur einfach: x₃ = 5 und x₄ = 1

 

Grüße

Comments

ab da kann ich nicht mehr folgen

= x2(x-5)(x-1)

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Wie man von hier auf die Nullstellen kommt?

Nun bedenke: Ein Produkt ist dann Null, wenn es ein Faktor ist!

Das ist ja für x = 5 der Fall, oder für x = 1, oder wenn x₁ = 0, bzw. x₂ = 0 ist.

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warte mal wenn ichs hier richtig habe dann hab ich es verstanden

f(x)=4x⁴+28x³+49x²

0=x²(4x²+28x+49)

0=x²+7x+12,25

x=0 x=-3,5

x²(x+3,5)(x+3,5)

=0

Somit ergibt sich für x1,2=0 und x3=-3,5 (doppelte Nullstelle bei x1,2)

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Fast.

Du hast doch (x+3,5)(x+3,5) = (x+3,5)^2

Also ein Quadrat auch über der Nullstelle x = -3,5 -> Doppelt

 

--> Somit ergibt sich für x_1,2=0 und x_3,4=-3,5 (doppelte Nullstelle bei x_1,2 und bei x_3,4)

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mann ey so ein dusseliger fehler von mir

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Solange es nur dusselig war, sonst aber verstanden, ist ja alles in Ordnung :).

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hast du zwei-drei aufgaben mit doppelter und dreifacher nullstelle?

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Hab ich ;):

y = 3x^4-3

y = 3x^3+9x^2+9x+3

y = 5x^5-15x^4+15x^3-5x^2


(ersteres dürfte am "schwersten" sein)


Bin essen :).

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die ersten beide kann ich nicht machen, da ich mich nicht mit polynomdivision auskenne. bei der dritten habe ich probleme weil die x³ in der klammer steht. muss ich dann die dritte wurzel ziehn?

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Hmm, dann war das eine blöde Wahl an Beispielen, denn wenn man kein gutes Auge hat, brauchts diese :).

y = 7x^6-7x^4

y = 3x^4-6x^3+3x^2


Das sollte aber klappen ;).

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Zwar habe ich die dritte gelöst aber es scheint falsch zu sein.

0=5x⁵-15x⁴+15x³-5x²

0=x²(5x³-15x²+15x-5)

jetzt sollte ich mit dem substitutionverfahren weitermachen aber ich habe 2 x'se dann wäre dass 1 z² und 2 mal z

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Das wird nicht funktionieren. Das Substitutionsverfahren. Man muss hier Polynomdivision machen oder eventuell ist das Pascalsche Dreieck bekannt. Vergiss die Aufgabe, mach lieber die zwei anderen, die sollten in Deine Kategorie passen :).

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0=3x⁴-6x³+4x²

0=x²(3x²-6x+4)

0=x²-2+1,333....

x=0 x=1

x²(x-1)(x-1)=(x-1)²

x1,2=0

x3,4=1

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Genau so ist es ;).

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frage hierzu x²(x-1)(x-1)=(x-1)² wieso muss da x² stehen?

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Gegenfrage, warum nicht? Du hast doch x^2 ausgeklammert.

Deine Gleichung stimmt übrigens nicht.

x²(x-1)(x-1)=x^2(x-1)²

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Ich bin den Nachmittag über weg, falls noch was ist. Schaue heute Abend wieder rein, oder jemand anderes sieht und antwortet?! :)

Grüße und viel Spaß weiterhin

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huh? wenn wir x² ausklammern wieso ist sie dann nach dem gleichheitszeichen noch da?

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Oo x^2 ist doch schon längst ausgeklammert.

y = 3x⁴-6x³+3x² = 0

0=x²(3x²-6x+3)

Hier hast Du doch x^2 ausgeklammert. Und dann den hinteren Term noch faktorisiert.