Nullstellen der Funktion f(x) = -2x^4 + 6x^2 - 3 bestimmen.

Question

$$ \begin{array} { l } { - 2 x ^ 4 + 6 x ^ { 2 } - 3 = 0 } \\ { x ^ { 2 } \left( - 2 x ^ { 2 } + 6 - \frac { 3 } { x ^ { 2 } } \right) } \end{array} $$

Ich muss die Nullstellen dieser Funktion bestimmen und kann ich das hier so ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden, oder muss ich die Polynomdivision anwenden?

Answer 1

\(-2x^4+6x^2-3=0 \)

Lösung ohne Substitution:

\(-2x^4+6x^2=3 |:(-2) \)

\(x^4-3x^2=-1,5  \)

\(x^4-3x^2+1,5^2=-1,5+1,5^2  \)

\((x^2-1,5)^2=\frac{3}{4}     | ±\sqrt{~~} \)

1.)

\(x^2-1,5=\frac{1}{2}\sqrt{3}     \)

\(x^2=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}   | ±\sqrt{~~}   \)

\(x_1=\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}}\)

\(x_2=-\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}}\)               

2.)

\(x^2-1,5=-\frac{1}{2}\sqrt{3}    \) 

\(x^2=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}   | ±\sqrt{~~}   \)

\(x_3=\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}}   \)

\(x_4=-\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}}  \)

Answer 2

x^2 ausklammern geht leider nicht.

Du kannst aber u=x^2 substituieren und erst mal

-2u^2 + 6u - 3 = 0

auflösen.

Danach zu jedem u 2 x-Werte berechnen. mit x = ±√u

So sparst du dir die Polynomdivision.