Numerische Näherungswerte Polygonzugverfahren AWP

Question

Berechnen Sie zwei numerische Näherungswerte für das Anfangswertproblem des mathematischen Pendels indem Sie zwei Schritte mit dem Polygonzugverfahren von Euler mit der Schrittweite h = 0.1 durchführen. Wählen Sie für die Masse m = 180 kg, für die Länge l = 2.4 m, für den Reibungskoeffzienten k = 14 kg/s und für die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s^2.

Geben Sie die Näherungswerte gerundet auf sechs Stellen nach dem Komma
an.

\( m l \ddot{\varphi}(t)+k l \dot{\varphi}(t)+m g \sin (\varphi(t))=0, \quad \varphi(0)=1, \dot{\varphi}(0)=-1 \)

Wie muss ich hier vorgehen? Ein Lösungsweg wäre sehr hilfreich.

mfg

Answer 1

In ein System erster Ordnung umwandeln:

u := φ, v := φ'

Dann ist das System $$ \begin{pmatrix} u'\\v'\end{pmatrix} = F\begin{pmatrix} u\\v\end{pmatrix} $$

wobei $$ F\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix} := \begin{pmatrix} y\\-\frac{kl y+ mg \sin(x)}{ml}\end{pmatrix} $$

mit Anfangsbedingung $$ p_0 := \begin{pmatrix} u (0)\\v (0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}$$

Jetzt zwei Schritte mit dem expliziten Eulerverfahren: $$ p_1 = p_0 + hF (p_0) \\ p_2 = p_1 + hF (p_1) $$

Es gilt $$ p_ i = \begin{pmatrix} p_{i,1}\\p_{i,2}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} u (0+ih)\\v (0+ih)\end{pmatrix} $$