Eine Menge mit üblicher + und * einen Teilkörper bildet

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass die Menge

Q (√2) = {a+b√2|a,b∈Q} mit üblicher Addition und Multiplikation einen Teilkörper von R(Reelle Zahl) bildet.

b) Zeigen Sie, dass die Menge

Q (i√2) = {a+ib√2|a,b∈Q} mit Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen einen Teilkörper von C(Komplexe Zahl) bildet.

Answer 1

Da es offenbar eine Teilmenge von ℝ ist, musst du nur beweisen:

Q (√2)  ist nicht leer.  Klar, denn 0+0*√2  = 0 ist enthalten.

Zu jedem Element auch das additive und zu

jedem ungleich 0 auch das multiplikative Inverse sind

enthalten:

additiv: Sei   z ∈ Q (√2). Dann gibt es nach Sed. a und b aus Q

mit z =  a+b√2 .  Da Q ein Körper ist, sind auch -a und -b aus Q

==>  -a + (-b)√2 ∈ Q (√2)  und wegen

(   a+b√2 ) + (  -a + (-b)√2 ) =  … assoziativ etc. .. = 0

ist  -a + (-b)√2 das additive inverse von z.

multiplikativ : z =  a+b√2 ≠0. Suche z* mit z * z* = 1

über den Ansatz  (   a+b√2 ) * (   c+d√2 )  = 1 =  1 + 0√2

<=>  ac + 2bd = 1  und   ad + bc = 0

1. Fall b=0 (wegen z≠0 also a≠0)

dann bleibt ac=1 und ad=0

also klappt es mit z*= 1/a  .  (s.o.   a≠0) .

2. Fall b≠0 . Dann folgt aus #

       ac + 2bd = 1  und   c = -ad / b

==>   -a^2 * d/b   = 1 - 2bd   | *b

==>   -a^2 * d   = b - 2 b^2 d

==>   -a^2 * d +  2 b^2 d = b

==>   (-a^2 +  2 b^2) * d = b

Und die Klammer ist nicht 0, denn

            2b^2 = a^2 hätte zur Folge

  |a| = |b|*√2

im Widerspruch zu a,b ∈ℚ.

Also d = b /  (-a^2 +  2 b^2)

und mit  c = -ad / b  erhältst du daraus auch c.

Damit hast du das z*.

Dann noch die Abgeschlossenheit gegenüber + und *

zeigen.