Erklärung Rechenweg Ausklammern einer quadratischen Gleichung

Question

Aufgabe:

es soll folgender Term ausgeklammert (nicht gelöst) werden: x*x+2*x-15

Ich habe auch die Lösung dazu aber ich verstehe den Lösungsweg nicht.

Die vorgegebene Lösung im 1. Schritt

x*x+2*x-15 = x*x-3*x+5*x-5*3

Ich denke die 15 wurde in Primafaktoren 3 und 5 zerlegt. Allerdings verstehe ich nicht wieso man dies in dem Fall macht. Das funktioniert ja auch nicht immer.

Problem/Ansatz

Gleichung in die Form geschrieben

x^2+2x–15

Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich.

Answer 1

Aloha :)

Schau dir mal bitte die folgende allgemeine Rechnung an:$$(x+a)\cdot(x+b)=x^2+ax+bx+ab=x^2+(a+b)x+ab$$Und jetzt vergleich das mal mit deiner quadratische Gleichung:$$(x+a)\cdot(x+b)=x^2+\underbrace{(a+b)}_{=2}\cdot x+\underbrace{ab}_{=-15}$$Wir brauchen 2 Zahlen \(a\) und \(b\) deren Produkt \(-15\) und deren Summe \(2\) ist. Das trifft auf \(a=5\) und auf \(b=-3\) zu. Daher ist:$$x^2\underbrace{+2}_{=a+b}x\underbrace{-15}_{=a\cdot b}=(x\underbrace{+5}_{=a})(x\underbrace{-3}_{=b})$$

Comments

Ok ich habe durch die pq Formel auch a=3 und b=–5 raus bekommen.

Aber in euren Antworten und der vorgegebenen Lösung sind die Vorzeichen genau entgegengesetzt. Wie kommt das zustande?

In der vorgegebenen Lösung ist dann eingesetzt:

x*x –3*x +5*x –5*3

Es wechseln ständig die Vorzeichen meiner pq Lösung. Den Weg kann ich nicht nachvollziehen.

Sorry ich glaube ich bin aktuell Matheblind

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Mit der pq-Formel bekommst du die Nullstellen, also die Werte, bei denen die Parabel \(=0\) wird. In deinem Fall hier ist:

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$$

Die Nullstellen sind also bei \(x=-5\), dabei wird die erste Klammer \(=0\), und bei \(x=3\), dabei wird die zweite Klammer \(=0\). Wie du völlig richtig beobachtet hast, sind daher die Vorzeichen genau andersherum. Mit der Regel von Vieta bekommst du die beiden Zahlen, die du in die Klammer eintragen musst, die Nullstellen sind genau die negativen Werte davon.

Answer 2

x*x+2*x-15 = x*x-3*x+5*x-5*3

Das dient dazu umzuformen auf

x*x+2*x-15 = x*(x-3) + 5*(x-3) = (x-5)(x+3)

Kannst ja mal schauen nach

Satz des Vieta

Das ist eine gute Methode zum Faktorisieren eines quadratischen

Terms von der Art  x^2 + px + q wenn man

"durch scharfes Hinsehen" zwei Zahlen a und b findet

mit a*b=q  und   a+b = -p

Bei dir war q=-15 und p=2 also passt es

mit a=-5 und p=3 .

Answer 3

Hallo

 multipliziere (x+a)*(x+b)=x^2+ax+bx+a*b=x^2+(a+b)*x +ab

wenn a und b ganze Zahlen sind steht bei x  als Faktor a+b  das absolut Glied ist a*b (-a und -b sind die Nullstellen) du hast also a+b=2 und a*b=-15 da ist leicht zu sehen -15=(-3*5) oder (-5*3) und -3+5=2 also kann man a und b, wenn es ganze Zahlen sind leicht finden, und damit hast deine Faktorisierung, wenn man keine ganzzahligen Nullstellen hat hilft einem das aber nicht, bei ganzzahigen  ist es oft schneller als z.B, die  pq- Formel.

Gruß lul