e Gleichung Ausklammern

Question

Aufgabe:

e^(x+1) − 3e^−x = 0

Problem/Ansatz:

Wenn ich die erste Klammer auflöse, erhält man dann e^x+e?

Wie gehe ich hier beim Ausklammern vor wenn x in der ersten Klammer ein positiver und in der zweiten ein negativer Wert ist.

Laut Lösung: e^x*(e^1-3e^-2x)=0 ; Woher kommt der Wert -2x??

Answer 1

\(e^{x+1}-3*e^{-x} =0\)

\(e^{x}*e-\frac{3}{e^{x}} =0    | *e^{x}\)

\(e^{2x}*e-3 =0   \)

\(e^{2x+1} =3  \)

\(e^{2x+1} =e^{ln(3)}  \)

Exponentenvergleich:

\(2x+1=ln(3)  \)

\(2x=ln(3)-1  \)

\(x=\frac{ln(3)}{2}-\frac{1}{2}  \)

Answer 2

e^x+1 − 3e^−x=e^x·e-\( \frac{3}{e^x} \)=e^x·(e - \( \frac{3}{e^x·e^x} \))=e^x*(e¹-3e^-2x).

Answer 3

Du musst durch e^x teilen:

e^x(e-3e^(-2x)) =0

Es gilt: a^-b/a^c = a^(-b-c)

Satz vom Nullprodukt:

e^x ist immer >0

e-3e^(-2x) = 0

3e^(-2x) = e

e^(-2x) = e/3

-2x = ln(e/3) = lne-ln3 = 1-ln3

x= (1-ln3)/-2 = -1/2 +ln3/2 = 0,04931

oder:

mit e^x multiplizieren:

e^(2x+1)-3*e^0 =0

e^(2x+1) = 3

2x+1 = ln3

x= (ln3-1)/2

Answer 4

\(e^{x+1}=e^x\cdot e^1=e\cdot e^x\).

Ansonsten multipliziere deine Gleichung mit \(e^x\):

\(e^{x+1}\cdot e^x=3\), also \(e^{(x+1)+x}=3\Rightarrow\)

\(e^{2x+1}=3\). Logarithmieren liefert:

\(2x+1=\ln(3)\) ...