Gram-Schmidt Verfahren zu Orthonormalbasis und Skalarprodukt

Question

Sei \( V=\left\{\left[\begin{array}{ll}{a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{3}}\end{array}\right] | a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \) der Vektorraum der reellen symmetrischen \( 2 \times 2 \) -Matrizen.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \begin{array}{l} {\text { The Abbildung }\langle\cdot, \cdot\rangle_{1}: V \times V \rightarrow \mathbb{R}} \\ {\left\langle\left[\begin{array}{ll} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{3}} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} {b_{1}} & {b_{2}} \\ {b_{2}} & {b_{3}} \end{array}\right]\right\rangle_{1}=3 a_{2} b_{2}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{3} b_{3}} \end{array} $$
kein Skalarprodukt von \( V \) ist.

b) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( _{\langle\cdot, \cdot\rangle_{2}: V \times V \rightarrow \mathbb{R}} \)
$$ \left\langle\left[\begin{array}{ll} {a_{1}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{3}} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} {b_{1}} & {b_{2}} \\ {b_{2}} & {b_{3}} \end{array}\right]\right\rangle_{2}=a_{1} b_{1}-2 a_{2} b_{3}-2 a_{3} b_{2}+3 a_{2} b_{2}+2 a_{3} b_{3} $$
ein Skalarprodukt von \( V \) ist.

c) Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gram-Schmidt aus der Basis
$$ \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} {0} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right]\right\} $$
von \( V \) eine Orthonormalbasis von \( V \) bezügliches des Skalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle_{2} \)

Kann jemand das Gram-Schmidt-Verfahren näher erläutern? Das hatten wir leider im Tutorium noch nicht.

Comments

Zu c)

Was ich jetzt dazu gerechnet habe:

Da B1 (0110) jeweils zu B2 (1010) und B3 (0001) orthogonal, aber nicht normiert. Wenn man dies tut, dann ist

\( Q I=\left(\begin{array}{cc}{0} & {1 / \sqrt{2}} \\ {1 / \sqrt{2}} & {2}\end{array}\right) \) und \( Q 2=\left(\begin{array}{cc}{1 / \sqrt{2}} & {0} \\ {0} & {1 / \sqrt{2}}\end{array}\right) \)

Damit müsste man nur noch Q3 berechnen, welches ich wie folgt gemacht habe:

Q3=  L3/Norm(L3) 

wobei \( L 3=B 3-\langle B 3, Q 2\rangle \)

\( \Longrightarrow L 3=\left(\begin{array}{c}{0 \quad 0} \\ {0 \quad 1}\end{array}\right)-\left\langle\left(\begin{array}{c}{0 \quad 0} \\ {0 \quad 1}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}{1 / \sqrt{2}} & {0} \\ {0} & {1 / \sqrt{2}}\end{array}\right)\right\rangle\left(\begin{array}{cc}{1 / \sqrt{2}} & {0} \\ {0} & {1 / \sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {(2 / \sqrt{2})^{2} *(1 / \sqrt{2})}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{0} &{0} \\ {0} & {1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}{0} &{0} \\ {0} & {0}\end{array}\right) \)

Bedeutet das jetzt, dass Q3 nicht exisitiert? Anscheinend habe ich was übersehen. Mache das Verfahren zum ersten mal. Und das Posten hier ebenfalls, also verzeihts mir, falls das hier ein wenig wirr scheint. für die Hilfe.

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Skalarprodukt 2 definiert wie hier: https://www.mathelounge.de/83736/zeigen-sie-dass-die-abbildung-kein-ein-skalarprodukt-von-ist
?

Answer 1

a) zeige das die bedingung, dass <x,x> auch negativ werden kann

b) zeige das alle bedingungen erfüllt werden (skalarprodukt)

c) gehe wie bei vektoren vor, normieren, lotfällen, normieren, lotfällen