Question

Entwickeln Sie Ideen, wie Sie den Satz über die Winkelsumme im n-Eck entdecken lassen können und wie man diesen Satz begründen und beweisen kann.
Hallo, hier ist wieder eine nervige didaktik Aufgabe. In der Aufgabe vorher, sollte ich auf 3 verschiedene arten den Winkelsummesatz beweisen?.Kann hier mir jemand helfen oder Ansätze geben?Lieben dank.

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Also meine Frage war: wie den Satz über die Winkelsumme im n-Eck entdecken lassen können und wie man diesen Satz begründen und beweisen kann.

Answer 1

Hallo,

Voraussetzung für die Entdeckung des Satzes über die Winkelsumme im n-Eck sollte sein, dass die Winkelsumme im Dreieck bekannt ist.

1.) Man nehme ein konkretes n-Eck (z.B. ein Fünfeck) und zerlege (zerschneide) es ausgehend von einer Ecke (hier \(C\)) in \(n-2\) Dreiecke. Jetzt kann man die Winkel noch bunt anmalen - in jedem Dreieck eine andere Farbe - und dann das Dreieck wieder zum n-Eck zusammen setzen.

Wie groß ist nun die Summe aller Winkel?

2.) es existiert ein beliebiges n-Eck. Nun füge einen neue Ecke ein, indem einfach ein Punkt \(P\) auf einer Seite zur Ecke erklärt wird.

Wie groß ist nun die Anzahl der Ecken verglichen mit vorher? Und wie hat sich die Winkelsumme der Figur geändert?

3.) Ist die Winkelsumme nur von der Anzahl der Ecken abhängig? Was passiert mit den Winkeln in der Umgebung eines Eckpunktes \(Q\) eines n-Ecks, wenn man die Position von \(Q\) verändert?

Betrachte eine Ecke \(Q\) zwischen den Ecken \(P_i\) und \(P_{i+2}\). Nun verschiebe den Punkt \(Q\) in die Position  \(Q'\). Was passiert dabei mit der Winkelsumme in diesem n-Eck?

Tipp: die Winkelsumme in dem Viereck \(P_iQ'P_{i+2}Q\) beträgt \(2\cdot 180° = 360°\). Die Winkelsumme um den Punkt \(Q'\) herum beträgt ebenso \(360°\) (blauer, gelber und Winkel um \(Q'\)). Was kann man daraus folgern?

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Also meine Frage war: wie den Satz über die Winkelsumme im n-Eck entdecken lassen können und wie man diesen Satz begründen und beweisen kann.

das hatte ich auch so verstanden. Oben in meiner Anwort findest Du einige Gedanken dazu.

Answer 2

Zum Entdecken das linke Aufgabenblatt an jede Schülerin und jeden Schüler.Zum Beweisen das rechte Aufgabenblatt an jede Schülerin und jeden Schüler.

Answer 3

Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und Sechsecke zeichnen lassen. Innenwinkel messen und die Summen in Tabellen festhalten. Vermutungen aufstellen lassen. Herleitung dann über die Zerlegung in Dreiecke.

Bleibt noch die Frage, warum man immer mit n-2, also Eckenzahl minus 2 rechnen muss. Hier bietet sich die Außenwinkelsumme an, die bei jedem n-Eck 360° beträgt, also 2·180°.

Falls Schülerinnen und Schüler das untersuchen sollen, könnten die schnelleren die Außenwinkelsumme bestimmen.