Berechne die partiellen Ableitungen von f(x, y) = arctan y/x

Question

Aufgabe:

Berechne die partiellen Ableitungen von f(x, y) = arctan y/x
nach den Polarkoordinaten
r und φ und deute das Ergebnis anschaulich.

Comments

Zeichne dir mal ein rechtwinkliges Dreieck in den ersten Quadrant mit r als Hypotenuse und x und y als Katheten. Der Winkel, der am Ursprung mit der Hypotenuse entsteht, wird beschrieben durch arctan(y/x). Das gibt vielleicht schon mal eine Idee.

Answer 1

Mit \( x = r \cos(\varphi) \) und \( y = r \sin(\varphi) \) folgt $$ f(x(r,\varphi), y(r,\varphi) ) = \arctan \left( \frac{y(r,\varphi)}{ x(r,\varphi)} \right) = \arctan (\tan(\varphi) = \varphi $$ Also???