Lagrange Funktion mit 2 Nebenbedingungen,Max A mit begrenztem Zaun und Durchlass

Question

Aufgabe:
Auf Ihrem Praktikumsbetrieb werden Sie gebeten, die Planung für die Errichtung eines Paddocks zu übernehmen, der an einer Seite an die Stallwand angrenzt. Der Betrieb hat 8 Pferdeboxen und 60 Meter Zaun bestellt.
a) Geben Sie bitte an, wie viel Quadratmeter pro Pferd maximal realisiert werden können, wenn alle Einzelflächen die gleiche Größe besitzen sollen, der Zaun beliebig teilbar ist und der Durchlass jeweils 0,80 Meter breit sein soll. Berechnen Sie dieses Optimierungsproblem mit einer Lagrange-Funktion und interpretieren Sie den Wert λ.
b) Sie präsentieren Ihrer Chefin die Planungsergebnisse. Doch diese stellt schnell fest, dass Sie die baulich vorgegebene Breite einer Pferdebox von exakt 3,10 Meter nicht bedacht haben. Demzufolge müssen Sie diese Breite auch als Breite eines Einzelpaddocks Ihren Planungen zugrunde legen. Um wie viel Prozent verringert sich dadurch die Fläche pro Pferd gegenüber Ihrer ersten Planung?

Problem/Ansatz:

Das grundlegende Prinzip der LaGranche Funktion ist mir bekannt, mir fehlt allerdings der Ansatz. Mit einem normalen Zaun an der Wand hatte ich bisher kein Problem. Das besondere hier ist, dass ein durchgang an jeder Box vorhanden ist, der 80 cm breit ist und somit "gratis" flächeninhalt bietet. Ich frage mich, wie ich in die Nebenbedingung einfügen kann, dass es einen Durchgang gibt, der nicht zur Zaunlänge dazuzählt.
Quasi bei a+b (wobei b der 80cm durchgang) könnte man einfach den Flächeninhalt berechnen, nur weiß ich nicht, wie ich die NB so einfüge, dass b nicht als teil des zauns gewertet wird.
MfG

Comments

Ich bin mir nich sicher, wie das aussehen soll. Ich habe hier mal den Versuch eines Grundrisses von drei von acht Paddocks.

Bei a) wird die Breite der Boxen nicht berücksichtigt. Alles was blau ist, soll der Zaun sein. Die Öffnungen oben sind jeweils 80cm breit.

Ist das so gemeint?

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Nicht ganz, ist folgendermaßen gemeint:

An der Stallwand sind Türen. an der gegenüberliegenden Seite befinden sich die Durchlässe.

Quasi eine abtrennung Zwischen den einzelnen türen. von.

Davor befindet sich dann ein Langer durchgehender Zaun. Dieser ist 80 cm von den Abtrennungen entfernt, sodass man an den boxen entlang gehen kann

____________________________________________

|_____|______|______|______|______|______|_____|     dieser spalt soll 80 cm sein

die abtrennungen sind hier natürlich verhältnismäßig zu kurz

unten befindet sich die Stallwand, welche nicht zum Zaun Zählt.

Die 60m Zaun sind also nur die abtrennungen und der lange Zaun davor.

boxenbreiten begrenzung gibt es in teil a nicht

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An der Stallwand sind Türen.

wieviel Türen - und wieso mehrere?

Ich habe das so verstanden, dass die Stallwand nur an einen von acht Paddocks grenzt - ist das so?

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nein, alle paddocks sind an der stallwand. jede box hat eine tür, durch das das pferd in das paddock kann.

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Sind die Öffnungen zwischen den einzelnen Paddocks? D.h. sie dienen dazu, dass die Pferde von einem zum nächsten Paddock wechseln können.

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eigentlich für personal aber ist ja nebensache. hier ein Link zu einem Foto, was es gut beschreibt, bzw. genau
https://prnt.sc/sxcxy0

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nein, alle paddocks sind an der stallwand.

D.h. die Boxen bilden die Stallwand, oder bilden eine Box eine zweite Seite eines Paddocks?

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die boxen sind die stallwand, ja genau wie im Foto.

Tut mir leid für die irreführende beschreibung, ich hätte direkt ein foto senden sollen

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D.h. es gibt 8+1=9 Abgrenzungen zwischen und am Rand der Paddocks und einen langen Zaun davor.

.. muss jetzt unterbrechen - morgen bin ich wieder da.

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ja genau. schade, hat keine Eile, wenn sonst jemand einen vorschlag hat bitte zögert nicht

Answer 1

Hallo,

die Paddocks seien \(a\) tief und alle 8 zusammen \(b\) breit. Dann ist die Gesamtfläche \(F\) aller acht Paddocks$$F = a \cdot b$$dies gilt es zu maximieren. Die Nebenbedingung wird durch den verfügbaren Zaun bestimmt$$9(a-0,8) + b - 60 = 0$$Und nun ganz klassisch die Lagrange-Methode anwenden:$$\begin{aligned} L(F,a,b) &= ab + \lambda(9(a-0,8) + b - 60) \\ \frac{\partial L}{\partial a} &= b + 9 \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial b} &= a + \lambda = 0 \implies \lambda = -a \\ \implies b - 9a &= 0 \\ b &= 9a \end{aligned}$$dies in die Nebenbedigung einsetzen$$\begin{aligned} 9(a-0,8) + 9a - 60 &= 0 \\ 18a &= 67,2 \\ a &\approx 3,73, \quad b = 33,6 \end{aligned}$$Die Fläche, die jedem Pferd zur Verfügung steht, ist \(F/8=ab/8=15,68\) mit einer Boxen- bzw. Paddockbreite von \(b/8=4,2\).

Legt man die Boxenbreite auf \(3,1 \text m\) fest, so ergibt sich aus der Nebenbedingung$$\begin{aligned}9(a-0,8) + 8\cdot 3,1 - 60 &= 0 \\ a - 0,8 &= \frac{60 - 24,8}9 \approx 3,91 \\ a &\approx 4,71 \end{aligned}$$Damit ist die neue Fläche \(F_2\) pro Paddock $$F_2 = 4,71 \cdot 3,1 \approx 14,60 \approx 0,93 \frac F8$$es sind also ca. 7% weniger Fläche.

Gruß Werner

Comments

Gibt der Wert von Lambda dann die Änderung des Flächeninhaltes an?

Und vorher schonmal vielen dank für die sehr übersichtiche und verständliche formulierung der Rechenschritte

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Ja - was ist \(\lambda\)?

Dazu (zum Einstimmen) folgender Plot

~plot~ 67.2-9x;[[-1|9|-2|45]];8*3.1;125.44/x;116.8/x;{67.2/18|33.6} ~plot~

Oben siehst Du ein Koordinatensystem, wo die horizontale Achse für den Wert \(a\) steht - also die 'Tiefe' eines Paddocks - und die vertikale Achse \(b\) die Breite aller 8 Paddocks zusammen darstellt. Der schwarze Punkt ist das errechnete Optimum \((3,73;\, 33,6)\) aus Aufgabenteil a). Die blaue Gerade beschreibt die Nebenbedingung $$N(a,b) = 9(a-0,8) + b - 60 = 0 \\ \implies b =  67,2 - 9a$$Die grüne Hyperbel beschreibt alle Paare \((a;b)\) für die die Gesamtfläche \(F=8 \cdot 15,68=124,44\) Quadratmeter wäre. Blaue Gerade und grüne Hyperbel berühren sich gerade im 'optimalen' Punkt.

Durch die Restriktion, die Boxenbreite auf \(b=3,1 \cdot 8 = 24,8\) zu beschräken (die rote Gerade), ergibt sich nun im Schnittpunkt mit der blauen Gerade (der Nebenbedingung) eine neue Lösung (s. Aufgabenteil b)). Die zugehörige Hyperbel habe ich lila eingezeichnet.

In dem Punkt der Lösung b) fallen die Steigungen der lila Flächenbedingung und der blauen Nebenbedingung nicht mehr zusammen. Es gibt einen echten Schnittpunkt. Im Gegensatz zum Punkt beim Optimum. Im Optimum darf es keinen echten Schnittpunkt geben - sonst wäre es kein Optimum; überlege mal warum!

Die Idee von Lagrange ist es, die Ableitungen der beiden Funktionen zu betrachten $$\begin{aligned}\text{grad} (F(a,b)) &= \begin{pmatrix}b\\ a\end{pmatrix} \\ \text{grad}(N(a,b)) &= \begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix} \end{aligned}$$und auszunutzen, dass im Punkt eines Optimums nur ein Berührpunkt existieren kann - d.h. diese beiden Vektoren die gleiche Richtung haben. Sie sind also linear abhängig. Falls also ein Optimum \((a_{opt};b_{opt})\) existiert, muss es dort für die Vektorgleichung$$ \text{grad} (F(a_{opt},b_{opt})) + \lambda  \cdot \text{grad}(N(a_{opt},b_{opt})) = 0$$eine Lösung mit \(\lambda \in \mathbb R \backslash 0\) geben.

D.h. das \(\lambda\) ist nur ein Faktor (ein Multiplikator). Der kann im Prinzip einen beliebigen Wert (außer 0) annehmen. Man könnte ja \(N(a,b)\) mit 3 multiplizieren, was nichts ändert, aber anschließend wäre das berechnete \(\lambda\) nur ein Drittel des Wertes von vorher.

Wichtig ist also nicht der Wert von \(\lambda\) an sich, sondern dass \(\lambda\) den gleiche Wert für alle(!) Koordinaten (hier \(a\) und \(b\)) annimmt.

Ich habe versucht, das ganze noch mal in 3D darzustellen

klick auf das Bild und rotiere es mit der Maus und bewege den Zoom mit dem Mausrad. Die blaue Fläche ist die Funktion \(N(a,b)\) und die grünen Segmente sollen \(F(a,b)-F_{opt}\) darstellen. Das ganze ist noch skaliert, damit es auf's Bild passt.

Wichtig sind die drei Vektoren. Der blaue Vektor zeigt den Gradienten von \(N(a,b)\), welcher unabhängig von der Position ist. Der grüne Vektor zeigt die Richtung des Gradienten im 'optimalen' Punkt. Hier läuft er parallel zum blauen. Wohingegen der Gradient bei \(b'=3,1\) (rot) von der Richtung des blauen Vektors abweicht.

Falls da noch Fragen offen sind, nur zu; melde Dich bitte

Gruß Werner

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Wow, vielen Dank für die sehr aufwendige Erklärung. Sie ist wirklic sehr verständlich.
Ich hätte noch ein anliegen, und zwar ist es nötig per Hesse Matrix zu überprüfen ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. Soweit ich mich erinnern kann geht das durch überprüfung der Vorzeichenfolge

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Ja - da gibt es die sogennate 'geränderte Hessematrix' (s. 2-dimensionaler Fall). In unseren Fall ist die $$\overline H(x) = \begin{pmatrix} 0& 9& 1\\ 9& 0& 1\\ 1& 1& 0 \end{pmatrix}, \quad \det(\overline H) = 18$$da \(18 \gt 0\) liegt ein lokales Maximum vor.

In der Praxis ist das IMHO überflüssig! Und in diesem Fall auch ;-) in der Praxis hat man i.A. eine Vorstellung wo das gewünschte Optimum sein kann. Bzw. man sieht im Nachhinein sehr schnell, ob das 'gewünschte' Optimum gefunden wurde!