Analysis Konvergenz und grenzwert von Folgen

Question

Aufgabe:Konvergenz und grenzwert von  n^4/3^n

Problem/Ansatz:

Beweis: (n+1)^4/3^n+1=1/3 ∑i=1 bis 4 n^4 - i/3^n

Es gilt (1+4/n+6/n^2 +4/n^2 +1/n^4) 1/3→1/3(n-∞)⇒∃N∈ℕ:∀n≥N:ΙXn-1/3Ι∠1/3⇒Xn=ΙXn-1/3Ι+1/3<2/3

z.z.∀n≥N:0≤an≤an*(2/3)^n-N

Ich komme hier einfach nicht weiter

Comments

Hallo

deine Aufgabe  ist so schlecht beschrieben, dass ich sie nicht interpretieren kann.

anscheinend willst du zeigen n^4/3^n

was hat das mit der Summe zu tun die da für n+1 steht? und dem Klammerausdruck ?

 was genau willst du?

lul

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Ich habe diese Frage gestellt. Die teilweise Lösung wurde mir von einem Studenten gezeigt, leider war ich zu früh der Meinung dass ich damit klar komme. Aufgrund der eingeschränkten Moeglichkeiten auf meinem Smartphone ist dass vielleicht nicht so optimal ersichtlich.

Ich gehe davon aus, dass der Lösungswege schon stimmt

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Die Beweis Idee bei der von mir gestellten Grenzwert Aufgabe war dass Langzeitverhaeltnis der Folgenglieder. Im nachhinein habe ich festgestellt, dass mir Tippfehler unterlaufen sind. Also der Lösungsweg, wenn auch etwas holprig dargestellt geht indie passende Richtung.

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Willst du zeigen, dass die Folge \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) mit \(a_n=\dfrac{n^4}{3^n}\) konvergiert und dass \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n= 0\) ist?

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Es geht darum, dass das Exponentielle Wachstum schneller ist als dass polynominelle. Das Verhältnis dieser beiden Folgen glieder ist ein1/3. Es geht darum dass Konvergenz Verhalten zu untersuchen und gegebenenfalls einen Grenzwert zu ermitteln. Dass die Beweis Idee eine recht gute ist war mir schon klar. Ich war trotz fehlendem Durchbruch auf der richtigen Seite. Sobald ich den Beweis gut verstanden habe werde ich ihn kommentieren.

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Das Verhältnis dieser beiden Folgen glieder ist ein1/3.

Was genau meinst du damit?

Answer 1

Hallo,

anscheinend ist Folgendes gemeint: Mit \(a_n:=\frac{n^4}{3^n}\) gilt:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=(1+\frac{1}{n})^4\frac{1}{3} \to \frac{1}{3}$$

Also gilt für ein \(n \geq N\) (geeignet):

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{2}{3} \Rightarrow a_n \leq a_N \left(\frac{2}{3} \right)^{n-N} \to 0$$

Gruß

Comments

Ich glaube, dass geht in die richtige Richtung. Der komplette Beweis mündet in der vollständigen Induktion.

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Vielen Dank für diese sehr klare Antwort. Mir ist klar, dass das stimmt. Ich weiß nur noch nicht genau, wie ich suf diese 1/3 allgemein komme.