Nachdem ich Zweifel bzgl. der Gültigkeit der von dir genannten Beziehung PB 2 = PA * PM bekam, habe ich eine Skizze gemacht - und nachgemessen. Dabei ergab sich, dass PA * PM so deutlich viel kleiner als PB 2 war, dass dies nicht an einer Zeichen - bzw. Messungenauigkeit liegen konnte.
Recherchen haben dann ergeben, dass der Sekanten-Tangentensatz gar nichts mit dem Mittelpunkt zu tun hat, sondern mit den beiden Schnittpunkten der Sekante mit dem Kreis.
Seien A und A' diese beiden Schnittpunkte und die Konstruktion im Übrigen so, wie du sie beschrieben hast, dann besagt der Satz:
PB 2 = PA * PA '
Für den Spezialfall, dass die Sekante durch den Mittelpunkt M des Kreises geht, lässt sich dieser Zusammenhang allerdings besonders einfach beweisen, denn dann gilt:
PA = PM - r und PA ' = PM + r
und somit:
PA * PA ' = ( PM - r ) * ( PM + r ) = PM 2 - r 2 (Gleichung 1)
wobei r der Radius des Kreises ist.
Da PB Tangente an den Kreis ist, steht PB senkrecht auf dem Radius BM = r des Kreises. Somit ist das Dreieck PBM ein rechtwinkliges Dreieck mit der Strecke PM als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei B. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:
PB 2 + BM 2 = PM 2
bzw. wegen BM = r :
PB 2 + r 2 = PM 2
<=> PB 2 = PM 2 - r 2
sodass mit Gleichung 1 gilt:
PA * PA ' = PB 2
