Kleinste Quadratische Abweichung Parameter bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sind gegeben die x-Werte: 1, 4 , 9 und die y-Werte: 3, 7, 10

Außerdem ist gegeben eine Kurve der Forum y = 2+ bx 

Bestimmen Sie den Parameter b

Problem/Ansatz:

Nun habe ich berechnet den Durschnitt x = 14/3 und Durchschnitt y = 20/3

Wenn ich jetzt in die Formel: a = y - b*x die Werte für a,x,y einsetze und berechne komme ich auf:

2 = 20/3 - 14/3*b

⇒b = 1

Laut Lösung müsste aber 93/98 herauskommen für b.

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, weshalb mein Ansatz hier nicht funktioniert.

Comments

Hallo, danke euch beiden für die Antwort.

Was ich jetzt nicht ganz verstehe ist, dass die "Formel" aber bei Aufgaben mit anderen Werten funktioniert hat. z.B.

Bei der Aufgabe war gegeben:

X	35	25	30	25	30
Y	365	250	400	300	350

und y = 26,43 + bx

Durchschnitt(X) = 29                Durchschnitt(Y) = 333

Wenn ich jetzt in die "Formel": a = y - b*x die Werte für a,x,y einsetze und berechne komme ich auf:

26,43 = 333 - 29b

b = 10.57

Und diese Lösung ist jetzt aber laut Aufgabenblatt richtig. Was ich jetzt nicht verstehe, weshalb die "Formel" hier funktioniert aber bei der vorherigen Aufgabe nicht ?

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Und diese Lösung ist jetzt aber laut Aufgabenblatt richtig.

Ja, aber nur auf 5 Stellen hinter dem Komma genau - was schon ziemlich gut ist! Die Ergebnisse sind nicht identisch. Ändere den letzten X-Wert von 30 auf 10 und Du bekommst mit den beiden Verfahren unterschiedlichen Lösungen.

Vielleicht hat sich Euer Dozent da einen Scherz erlaubt ;-)

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kennst du die Methode " Quadrate der Abweichungen ". Dann kann ich dir diese
einmal vorführen.

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... Dann kann ich Dir diese einmal vorführen.

die 'Vorführung' steht doch schon unten in meiner Antwort !(?)

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Hallo Werner,
meine ich jetzt alles völlig ernst :
ich ( 66 jahre ) werde immer schusseliger.
Deshalb beantworte ich Fragen auch
um MiCH geistig fit zu halten.
Manche meiner Antworten sind mitunter
redundant mit Antworten anderer.

mfg Georg

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@Georg: ja dann schreibe doch einfach eine Antwort. Das würde ich auch völlig Ok finden.

Ich fand bloss Deine Frage an den Fragensteller verwirrend, bzw. überflüssig. Zumal da eh' sehr selten darauf geantwortet wird und noch seltener mit einer negativen Antwort.

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Hallo Georg,

danke für dein Angebot, mir eine Aufgabe vorzuführen . Durch den Nachtrag vom Werner habe ich jetzt aber verstanden, wann ich welche Formel anwenden kann/muss. Habe heute 8 weitere Aufgaben gerechnet und konnte alle auf Anhieb lösen. 

Vielen Dank für eure Hilfsbereitschaft !

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Dann ist ja alles Bestens.

Answer 1

Hallo,

... wenn mir jemand erklären könnte, weshalb mein Ansatz hier nicht funktioniert.

Die Frage ist doch eher: warum sollte er funktionieren. Warum sollte Dir die 'Formel' $$a = \overline y - b \cdot \overline x$$den richtigen Wert für $b$ liefern?

Beherzige den Tipp von ullim. Es gilt die kleinste quadratische Abweichung zu finden - die quadratischen Abweichungen sind: $$\begin{aligned} F(b) &= \sum_{i=1}^3 \left( 2+bx_i-y_i \right)^2 \end{aligned}$$ und die kleinste Abweichung findet man, indem man nach $b$  ableitet$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial b} &= 2 \sum_{i=1}^3 \left( 2+bx_i-y_i \right) x_i = 0 \\ 0 &= 2 \sum x_i + b \sum x_i^2 - \sum x_i y_i \\ b &= \frac { \sum x_i y_i - 2 \sum x_i}{\sum x_i^2} \\ &= \frac {121 - 28}{98} = \frac{93}{98} \end{aligned}$$

Nachtrag:

wenn man Deine Formel nach $b$ umstellt, kommt man auf$$b = \frac{\overline y - a}{\overline x}$$Das bedeutet, dass das $b$ so gewählt wird, dass die resultierende lineare Funktion immer durch den Schwerpunkt der Punktwolke verläuft. Das kann(!) den Wert für ein optimales - im Sinne der minimalen quadratischen Abweichungen - $b$ liefern, wenn der Achsenabschnitt $a$ bereits optimal ist. Aber davon kann man ja im Allgemeinen nicht ausgehen.

Dazu folgendes Beispiel: Ansatz $y= bx$ und $x_i=\{0;\,5\}$ sowie $y_i=\{1;\, 0\}$. Liefert mit Deinem Ansatz ein $b_1=1/6$ und mit den minimalen quadratischen Abweichungen $b_2=1/26$ und sieht im Graph so aus:

Plotlux öffnen

P(1|1)P(5|0)f₁(x) = x/6f₂(x) = x/26

Die blaue Gerade geht durch den Schwerpunkt der Punktwolke bei $(3;\,0,5)$. Die Summe der Quadrate der Abweichungen ist aber $\approx 0,965$, die rote Gerade minimiert diesen Wert. Hier liegt er bei $\approx 0,856$. Das macht ja auch Sinn, da der Punkt $(5;\,0)$ quasi am 'längeren Hebel' sitzt. Eine große Veränderung bei $x=5$ macht nur eine kleine bei $x=1$ aus.

Gruß Werner

Comments

Nachtrag hinzu gefügt.

Answer 2

Du musst $$F(b) = \sum_{i=1}^3 \left( 2+bx_i-y_i \right)^2$$ minimieren. Also $F'(b) = 0$ und nach $b$ auflösen.