Die Abbildung \( \vec{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
$$ x \mapsto\left(\begin{array}{l} \cos (x) \\ \sin (x) \end{array}\right) $$
und zeigen Sie, dass \( \vec{f} \) in \( x=0 \) gemäß \( \vec{f}\left(\vec{x}_{0}+\vec{h}\right)=\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)+A \vec{h}+\vec{R}(\vec{h}) \) total differenzierbar ist mit
$$ A=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) $$ , d.h. bestimmen Sie \( \vec{R}(h) \) und zeigen Sie die Gültigkeit von \( \lim \limits_{\vec{h} \rightarrow \overrightarrow{0}} \frac{\vec{R}(\vec{h})}{|\vec{h}|}=\overrightarrow{0} \).
Dazu gibt es noch den Hinweis, dass die Taylor-Reihen von Sinus und Cosinus behilflich sein können.
Ich habe nun
$$\begin{pmatrix} cos (x+h)\\sin (x+h) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(x)\\sin(x) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\cdot \vec{h} + \vec{R}(\vec{h})$$
$$\begin{pmatrix} cos (h)\\sin(h) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\h \end{pmatrix}+\vec{R}(\vec{h})$$
$$\vec {R}(\vec{h})=\begin{pmatrix} cos(h)\\sin(h) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\h \end{pmatrix}$$
Weiter weiß ich leider nicht.... Ist das so überhaupt richtig?
Hilfeeeeeee! :-)
