Beweis, dass die Reihe ∑ (1/k2) konvergiert. Abschätzung aus a) verwenden

Question

Aufgabe:∑

Konvergenz einer Reihe beweisen b) unter einer

Problem/Ansatz:

Ich glaube man nutzt hier das Majorantenkriterium.

Aufgabe:

a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion nach $n$ die Gültigkeit der Ungleichung
$$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n}, \quad n \in \mathbb{N}$$

b) Beweisen Sie, unter Verwendung der Abschätzung in a), dass die Reihe
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}$$
konvergiert.

 

Answer 1

Die Induktion stimmt. Die Konvergenz folgt aus der Beschränktheit und Monotonie der Partialsummen.

Comments

Oki, danke! Und inwiefern sollte man die Abschätzung aus a) nutzen?

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$2 - \frac{1}{n} \le 2$ Das ist die Beschränktheit.

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Danke danke stimmt, jetzt noch zeigen dass es monoton ist.

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Du addierst ja immer nur positive Zahlen. Also monoton wachsend, sogar stremg monoton wachsend.

Answer 2

Vorschlag zu b)

Deine erste Zeile in b) abändern zu:

limes.... = 2, deshalb ist die Reihe ... beschränkt.

Nun noch die Monotonie der Reihe zeigen (nicht kompliziert: alle Summanden sind ja positiv),

dann ist man mE fertig.

Comments

Danke für den Tipp! Ich erinner mich dunkel an den Satz: Ist es monoton und beschränkt, so ist es konvergent. :D

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Bitte. Gern geschehen!