Gilt diese Aussage für die Konvergenz einer Reihe ins Quadrat?

Question

Aufgabe:

Gilt folgende Aussage über die Konvergenz von Reihen

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) ⇒ \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a_n)^2} \)

Ansatz:

Majorantenkriterium

Comments

Wähle \(\,a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\).

Answer 1

Mit \(\,a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\) konvergiert \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) nach Leibniz.

Aber \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a_n)^2} \) ist die (divergente) harmonische Reihe.

Comments

Aber ist (-1)^n/n nicht konvergent wieso ist diese dann divergent?

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\(   a_n^2 = \frac{1}{n} \)   Das Minus fällt beim Quadrieren weg.