Zeigen Sie, dass die Abbildung mit Addition und Multiplikation verträglich ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten ℂ als ℝ -Vektorraum mit der Basis 1,i. Zu jedem w = a + bi in ℂ schreiben wir M(w) ∈ M₂( ℝ ) für die Darstellungsmatrix der ℝ -linearen Abbildung ℂ -> ℂ gegeben durch die Multiplikation mit w.

Zeigen Sie, dass die Abbildung

 M :ℂ -> M₂(ℝ), w -> M(w)

 mit Addition und Multiplikation verträglich ist:

M(w1 + w2) = M(w1) + M(w2) und M(w1w2) =M(w1)M(w2)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wegen

        (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ist

(1)        \(M(A+bi)\cdot \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd \\ ad+bc\end{pmatrix}\)

laut Definition von \(M(a+bi)\).

Ist

        \(M(a+bi)=\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}\),

dann ist

(2)        \(M(a+bi)\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m_{11}c +m_{12}d \\ m_{21}c+m_{22}d \end{pmatrix}\).

laut Definition Matrix-Vektormultiplikation.

Aus (1) und (2) folgt

        \(\begin{pmatrix}ac-bd\\ad+bc \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}m_{11}c + m_{12}d\\m_{21}c + m_{22}d\end{pmatrix}\).

Bestimme daraus die Einträge \(m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}\) der Matrix \(M(a+bi)\).

Damit kannst du dann

        M(w1 + w2) = M(w1) + M(w2)

und

        M(w1w2) =M(w1)M(w2)

nachrechnen.