Delta - Epsilon - Kriterium 1 / (√x)

Question

Aufgabe:

Ich will gerne das Delta-Epsilon-Kriterium auf $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} $$ für den Bereich (0,1] anwenden.

Problem/Ansatz:

Sprich ich möchte an mein $$ \delta $$ kommen mit $$ |x-x_0|<\delta_\varepsilon $$ für $$ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $$. Ich schaffe es einfach (nur bei dieser Funktion) nicht $$ \delta $$ höchstens in Abhängigkeit zu $$ x_0 $$ zu bringen.

Würde mich über Ansätze oder Tipps sehr freuen!

Answer 1

Hallo

 1. f(x) ist nur für x>0 definiert also kannst du die Stetigkeit auch nur da beweisen.

also 1/√x-1/√x0 =(√x0-√x)/√(x*xo)   erweitern mit (√x0+√x) dann steht da schon mal δ und den Nenner musst du abschätzen mit x,x0>r  das es für alle x,x0>0 gibt. (die Stetigkeit wir um so schlechter (also δ immer kleiner) je näher man an 0 kommt.

Gruß lul

Comments

Geht das dann auch für den Bereich (0,1] ?

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 Hallo

 ja , da ja 0 nicht dazugehört. gilt es für alle x>0

Gruß lul

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Hey @lul,

ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich den Nenner in $$ \frac{\delta}{\sqrt{x}*x_0+\sqrt{x_0}*x} $$ so abschätzen kann, dass ich alle x wegbekomme.

Könntest du mir das bitte erklären?

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da x,x0>r ist der Nenner > 2*r*√r und damit δ/ 2*r*√r<ε daraus δ(ε)

mit der Vorgabe 0<r<x

lul