Sind X, V bzw X, W bzw V, W stochastisch unabhängig?

Question

Aufgabe:

Eine Münze werde zweimal geworfen. Man betrachte folgende Zufallsvariablen:

\( X \) gibt an, wie oft "Wappen "auftritt,

\( Y \) gibt an, wie oft "Zahl " auftritt,

$$ \begin{array}{l} V=\left\{\begin{array}{l} 0, \quad \text { falls beim ersten Wurf "Wappen "auftritt, } \\ \text { 1, falls beim ersten Wurf "Zahl" auftritt, } \end{array}\right. \\ W=|X-Y| \text { . } \end{array} $$

\( \operatorname{sind} X, V \) bzw. \( X, W \) bzw. \( V, W \) unabhängig?

Problem:

Normalerweise macht man dass ja mit Wahrscheinlichkeiten, aber die Anzahl an Wappen z. B. besitzt ja keine.

Answer 1

Aloha :)

Wir schreiben uns alle möglichen, Ausgänge der Zufallsexperimente auf:

$$\begin{array}{ccrrrr}\text{Wurf }1 & \text{Wurf }2 & X & Y & V & W\\\hline W & W & 2 & 0 & 0 & 2\\W & Z & 1 & 1 & 0 & 0\\Z & W & 1 & 1 & 1 & 0\\Z & Z & 0 & 2 & 1 & 2\end{array}\quad;\quad\begin{array}{lcl}X &=& \text{\#Wappen}\\Y &=& \text{\# Zahl}\\V &=&\left\{\begin{array}{l}0 & \text{falls W1 "Wappen"}\\1 & \text{falls W1 "Zahl"}\end{array}\right.\\W&=&|X-Y|\end{array}$$

a) Test, ob \(X,V\) unabhängig sind:$$\begin{array}{c}X & V & P(X) & P(V) & P(X)\cdot P(V) & P(X\land V) & \text{Ok?}\\\hline 2 & 0 & 1/4 & 1/2 & 1/8 & 1/4 & \text{FAIL}\end{array}$$Schon für die erste Zeile der Tabelle ist \(P(X\land V)\ne P(X)\cdot P(V)\), daher sind \(X\) und \(V\) nicht linear unabhängig.

b) Test, ob \(X,W\) unabhängig sind:$$\begin{array}{c}X & W & P(X) & P(W) & P(X)\cdot P(W) & P(X\land W) & \text{Ok?}\\\hline 2 & 2 & 1/4 & 1/2 & 1/8 & 1/4 & \text{FAIL}\end{array}$$Schon für die erste Zeile der Tabelle ist \(P(X\land W)\ne P(X)\cdot P(W)\), daher sind \(X\) und \(W\) nicht linear unabhängig.

c) Test, ob \(V,W\) unabhängig sind:$$\begin{array}{c}V & W & P(V) & P(W) & P(V)\cdot P(W) & P(V\land W) & \text{Ok?}\\\hline 0 & 2 & 1/2 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & \checkmark\\0 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & \checkmark\\1 & 0 & 1/2 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & \checkmark\\1 & 2 & 1/2 & 1/2 & 1/4 & 1/4 & \checkmark\end{array}$$\(V\) und \(W\) sind linear unabhängig.