Bestimme das Minimalpolynom von f.

Question

Aufgabe:

f: ℝ⁴ → ℝ⁴   ist gegeben durch Multiplikation mit der Matrix F =

1	0	1	3
5	-2	6	5
-3	0	-3	-3
5	0	6	3

Bestimme das Minimalpolynom von f. Hinweis: Berechne F³ + 6E₄  und F²  + 3F

Problem/Ansatz:

Den Hinweis habe ich ausgerechnet und letztlich kommt raus, dass (F³ + 6E₄₎  - (F²  + 3F) = 0 ist.
Okay, aber wie verbinde ich das jetzt mit dem Minimalpolynom?

Answer 1

Es gilt $$  p(x) = x^3 + 6 -x^2 -3x = (x^2 -3x+3)(x+2) $$ Damit hat \( p(x) \) die gleichen Nullstellen wie das charackteristische Polynom von \( A \) und ist somit ein Teiler des charackteristische Polynom von \( A \).

Da \( x^2 -3x+3 \) irreduzibel über \( \mathbb{R} \) ist, ist $$ p(A) = A^3 -A^2 -3A+6 $$ das Minimalpolynom.

Comments

\( +6 I \) ?

---

I = Einheitsmatrix.

@ullim Dankeeee