Bestimme das Minimalpolynom

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das Minimalpolynom von $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Das Ergebnis ist x² -1, aber wie komme ich darauf, also das charakteristische Polynom müsste (-1 -x)(1-x) sein. Mir ist aber nicht klar wie man auf das Ergebnis kommt.

Answer 1

DET([-1 - x, 0; 0, 1 - x]) = (-1 - x)·(1 - x) - 0·0 = x^2 - 1

Answer 2

(-1 -x)(1-x) = - (1+x)(1-x) = - (1-x^2) = x^2-1 

Das char. Pol. ist schon das Minimalpolynom.

Denn die Teiler von x^2-1 sind ja x-1 und x+1

und die haben beide die gegebene Matrix nicht als Nullstelle.