ich wollte mal fragen, ob meine Lösung für die Aufgabe richtig ist.
Gegeben sei die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & p \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\) mit \(p\in\mathbb{R}\). Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Jordan-Normalform und das Minimalpolynom.
Das charakteristische Polynom ist \(\chi_{A}(\lambda)=-\lambda^3+p=(\sqrt[3]{p}-\lambda)(\frac{-\sqrt[3]{p}+\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)(\frac{-\sqrt[3]{p}-\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)\).
Für \(p\neq0\) sind alle Eigenwerte paarweise verschieden und die Matrix ist diagonalisierbar, also ist die Jordan-Normalform eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale.
Für \(p=0\) ist \(\chi_{A}(\lambda)=-\lambda^3\) mit dem Eigenwert 0. Es gibt nur ein 3x3-Jordan-Kästchen. Die Anzahl der Jordan-Blöcke mit Länge 1 ist 0, deshalb ist die Jordan-Normalform von A:
\(J_A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Das Minimalpolynom entspricht \(\forall p\in\mathbb{R}\) dem charakteristischen Polynom.
