Wie schätze ich die Folge bzw Reihe (n^3+9n^2+2n)/(18+12n^5) ab?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Wie schätze ich die Folge an hier ab? Die Reihe fängt bei n=3 an.

Answer 1

Deine Aufgabe ist es, die Summanden so zu vergrößern, dass ihre Summe trotz der Vergrößerung immer noch konvergiert.

Was du gemacht hast war Murks, denn in der Mitte änderst du plötzlich die Richtung der Abschätzung.

Ein Bruch wird vergrößert, indem man den Nenner verkleinert (das hast du mit dem Weglassen des Summanden 18 richtig gemacht)

und indem man den Zähler vergrößert.

Es gilt sofort bzw. ab n=2

z.B. n(n-1)(n-2)<n³ und n²<n³.

Comments

Ja weil ich nicht wusste wie ich den Summanden da vergrößere wenn sich beim Zähler alles addiert, außer was hinzuzufügen. Deswegen habe ich die Richtung geändert aber ich glaube der Fehler lag darin es auszumultiplizieren und es mit den 12n^2 zusammenzufassen.

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Wenn ich n(n-1)(n-2) ausmultipliziere = n^3-2n^2-n^2+2n. Das abschätze <=n^3+2n. Was passiert mit den 2n?? Das kann doch nicht kleiner als n^3 sein wie du das abschätzt, weil die 2n hinzuaddiert wird.

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2n ist ab n=2 auch kleiner als n³. Somit ist n³+2n<=2n³.

Du kannst auch viel großzügiger abschätzen und schreiben, dass der gesamte Zähler <20n³ oder <100000n³ ist. Das n³ kannst du mit dem n^5 in Nenner kürzen, übrig bleibt ein Ausdruck

(konstanter Zähler)/n².