Wie kann ich aus dem Scheitelpunkt, die Scheitelpunkts form und die Normalform bestimmen?

Question

Aufgabe:

Das Schaubild einer Funktion f(x) = x^2 − bx + c hat den Scheitel S. Gib die Funktionsgleichung sowohl in Scheitelform als auch in Normalform an. Zeichne das Schaubild der

a) S(1|2)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das berechnen?

Answer 1

Scheitelform

Die Scheitelform lautet allgemein

        f(x) = a(x-d)² + e

wobei der Scheitelpunkt bei (d | e) liegt.

Das Schaubild einer Funktion f(x) = x² − bx + c

Allgemein lautet die Funktionsgleichung ja

        f(x) = ax² - bx + c.

In deinem Fall ist a = 1 und das ist das gleiche a, das auch in der Scheitelform vorkommt. Die Scheitelform lässt sich also vereinfachen zu

        f(x) = (x-d)² + e.

Setze jetzt für d die x-Koordinate des Scheitelpunktes ein und für e die y-Koordinates des Scheitelpunktes.

Multipliziere dann mit binomischer Formel aus um die Normalform zu bekommen.

Comments

Eine Frage hätte ich da noch.

Woher weiß ich, dass a=1 ist?

Weil der Scheitelpunkt ja nur d und e rausgibt.

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Woher weiß ich, dass a=1 ist?

Weil in der Aufgabenstellung die Form

        f(x) = x² − bx + c

vorgegeben ist, anstatt der allgemeineren Form

        f(x) = ax² − bx + c.

Diese zwei Formen sind nur dann identisch, wenn a = 1 ist.

Weil der Scheitelpunkt ja nur d und e rausgibt.

Richtig. Wäre in der Aufgabenstellung

        f(x) = ax² − bx + c

vorgegeben, dann bräuchte man einen weiteren Punkt der Parabel, um die Funktionsgleichung eindeutig zu bestimmen.

Answer 2

f(x) = x^2 − bx + c
S(1|2)
f ( 1 ) = 1 - b + c = 2

Falls ihr schon Differntialrechnung gehabt habt.
f ´( x ) = 2x - b
Scheitelpunkt
f ´( 1 ) = 2 - b = 0
b = 2

f ( 1 ) = 1 - 2 + c = 2
c = 3

f ( x ) = x^2 - 2x + 3

Kann auch auch die Scheitlpunktform berechnet werden,
Bei Bedarf wieder melden.