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Aufgabe:

Aus dem Zylinder

Z = { (x, y, z) ∈ ℝ3 : y2 + z2 < 4 }

wird durch die y-z-Ebene und die Fläche

F = { (x, y, z) ∈ ℝ3 : x = ey^2+z^2}

ein Körper K herausgeschnitten. Die Massenverteilung des Körpers ist gegeben durch

ρ : K → ℝ, ρ (x, y, z) = y2.


a) Berechnen Sie das Volumen von K.

b) Berechnen Sie die Masse von K.

Bis dato fehlt mir der Ansatz? Wovon muss das Integral verwendet werden und inwiefern verwende Ich F

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Aloha :)

Der Körper KK wird beschränkt durch y2+z2<4y^2+z^2<4 und 0xey2+z20\le x\le e^{y^2+z^2}. Wir drücken yy und zz in Polarkoordinaten aus, sodass:(yz)=(rcosφrsinφ);r[0;2[;φ[0;2π];dydz=rdrdφ\binom{y}{z}=\binom{r\,\cos\varphi}{r\,\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2[\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dy\,dz=r\,dr\,d\varphiDann gilt insbesondere 0xer20\le x\le e^{r^2} und die gesuchten Größen sind:

V=KdV=02dr02πdφ0er2dxr=02drr02πdφ0er2dx=02drr2πer2V=\int\limits_K\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r=\int\limits_0^2dr\,r\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx=\int\limits_0^2dr\,r\cdot2\pi\cdot e^{r^2}V=π02dr2rer2=π[er2]02=π(e4e0)=(e41)π\phantom{V}=\pi\int\limits_0^2dr\,2r\cdot e^{r^2}=\pi\left[e^{r^2}\right]_0^2=\pi\left(e^4-e^0\right)=(e^4-1)\piM=Kρ(x,y,z)dV=02dr02πdφ0er2dxr(rcosφ)2M=\int\limits_K\,\rho(x,y,z)\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r\cdot(r\,\cos\varphi)^2M=02dr02πdφ0er2dxr3cos2φ=02dr02πdφer2r3cos2φ\phantom{M}=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r^3\cos^2\varphi=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\, e^{r^2}\,r^3\cos^2\varphiM=02drr3er202πdφcos2φ=[12er2(r21)]02[φ2+14sin(2φ)]02π\phantom{M}=\int\limits_0^2dr\,r^3e^{r^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,\cos^2\varphi=\left[\frac{1}{2}e^{r^2}(r^2-1)\right]_0^2\cdot\left[\frac{\varphi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\varphi)\right]_0^{2\pi}M=(12e4(41)12e0(01))(2π2+000)=(32e4+12)π\phantom{M}=\left(\frac{1}{2}e^4(4-1)-\frac{1}{2}e^0(0-1)\right)\cdot\left(\frac{2\pi}{2}+0-0-0\right)=\left(\frac{3}{2}e^4+\frac{1}{2}\right)\cdot\piM=π2(3e4+1)\phantom{M}=\frac{\pi}{2}\left(3e^4+1\right)

Avatar von 152 k 🚀

Wie würde man jetzt Anhand davon die Koordinaten des Schwerpunkts von K berechnen mit der bereits gegebenen Massenverteilung?

MfG

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Hallo

du integrierst über den Zylinder y2+z2<4  von der Ebenex=0 bis zu der Fläche  x=exp(r2)

am besten in Zylinderkoordinaten, wobei die Höhe in x- Richtung geht und y2+z2=r2

dasselbe danach mit der Dichte da dm=rho*dV

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Also so?:

02π \int\limits_{0}^{2π}  02 \int\limits_{0}^{2}  0h \int\limits_{0}^{h} r cos(φ)+ r sin(φ)2  r dx dr dφ

mit h = ey2+z2 bzw. e(r cos(φ)2) + r sin(φ)2)

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