Berechnen Sie das Volumen von K und Berechnen Sie die Masse von K. Mehrdeminsionales Integral

Question

Aufgabe:

Aus dem Zylinder

Z = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : y² + z² < 4 }

wird durch die y-z-Ebene und die Fläche

F = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : x = e^{y^2+z^2}}

ein Körper K herausgeschnitten. Die Massenverteilung des Körpers ist gegeben durch

ρ : K → ℝ, ρ (x, y, z) = y².

a) Berechnen Sie das Volumen von K.

b) Berechnen Sie die Masse von K.

Bis dato fehlt mir der Ansatz? Wovon muss das Integral verwendet werden und inwiefern verwende Ich F

Answer 1

Aloha :)

Der Körper \(K\) wird beschränkt durch \(y^2+z^2<4\) und \(0\le x\le e^{y^2+z^2}\). Wir drücken \(y\) und \(z\) in Polarkoordinaten aus, sodass:$$\binom{y}{z}=\binom{r\,\cos\varphi}{r\,\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2[\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dy\,dz=r\,dr\,d\varphi$$Dann gilt insbesondere \(0\le x\le e^{r^2}\) und die gesuchten Größen sind:

$$V=\int\limits_K\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r=\int\limits_0^2dr\,r\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx=\int\limits_0^2dr\,r\cdot2\pi\cdot e^{r^2}$$$$\phantom{V}=\pi\int\limits_0^2dr\,2r\cdot e^{r^2}=\pi\left[e^{r^2}\right]_0^2=\pi\left(e^4-e^0\right)=(e^4-1)\pi$$$$M=\int\limits_K\,\rho(x,y,z)\,dV=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r\cdot(r\,\cos\varphi)^2$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{e^{r^2}}dx\,r^3\cos^2\varphi=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\, e^{r^2}\,r^3\cos^2\varphi$$$$\phantom{M}=\int\limits_0^2dr\,r^3e^{r^2}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,\cos^2\varphi=\left[\frac{1}{2}e^{r^2}(r^2-1)\right]_0^2\cdot\left[\frac{\varphi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\varphi)\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{M}=\left(\frac{1}{2}e^4(4-1)-\frac{1}{2}e^0(0-1)\right)\cdot\left(\frac{2\pi}{2}+0-0-0\right)=\left(\frac{3}{2}e^4+\frac{1}{2}\right)\cdot\pi$$$$\phantom{M}=\frac{\pi}{2}\left(3e^4+1\right)$$

Comments

Wie würde man jetzt Anhand davon die Koordinaten des Schwerpunkts von K berechnen mit der bereits gegebenen Massenverteilung?

MfG

Answer 2

Hallo

du integrierst über den Zylinder y^2+z^2<4  von der Ebenex=0 bis zu der Fläche  x=exp(r^2)

am besten in Zylinderkoordinaten, wobei die Höhe in x- Richtung geht und y^2+z^2=r^2

dasselbe danach mit der Dichte da dm=rho*dV

Gruß lul

Comments

Also so?:

\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{2} \) \( \int\limits_{0}^{h} \) r cos(φ)² + r sin(φ)²  r dx dr dφ

mit h = e^{y^2+z^2} bzw. e^{(r cos(φ)^2) + r sin(φ)^2)}