Uneigentliches Integral von -unendlich bis +unendlich bestimmen.

Question

Aufgabe:

Uneigentliches Integral von -unendlich bis +unendlich bestimmen.

Funktion: \( \int\limits_{-infinity}^{\infty} \)x*\( e^{-(x^2)} \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich an die Aufgabe ran, wenn ich als obere grenze unendlich und als untere Grenze -unendlich gegeben habe?

Answer 1

Addiere die Integrale von 0 bis u und von 0 bis -u  und suche den Grenzwert für u→∞.

Comments

Wie genau meinst du das? "Die Integrale von 0 bis u addieren" - einfach eine Summenformel von 0 bis u mit dem Integral schreiben? und dann den Grenzwert dieser Reihe? Könntest du mir das genauer zeigen?

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Besser ist es, zunächst die Punktsymmetrie zu Ursprung zu zeigen. Dann ist das Integral von -u bis u für alle u gleich 0.

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Wie mache ich dann weiter wenn ich die Punktsymmetrie gezeigt habe?

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Verwende den Satz: Das Integral einer punktsymmetrischen Funktion in den Grenzen von -u bis u ist immer gleich Null.

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Also bedeutet es, dass wenn ich die punktsymmetrie zeige, das Integral meiner Funktion von -unendlich bis unendlich auch 0 ist?

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So sieht der Graph aus:

Die Integralteile im 1.Quadranten und im 3. Quadranten haben den gleichen Betrag aber entgegengesetzte Vorzeichen.

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Achso, jetzt macht der Satz auch Sinn für mich. Dankeschön

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Verwende den Satz: Das Integral einer punktsymmetrischen Funktion in den Grenzen von -u bis u ist immer gleich Null.

Für den Nachweis der Existenz des Integrals von  -∞  bis  +∞  genügt aber dieser Satz nicht !

Sonst wäre beispielsweise auch das Integral von x  (oder von  1/x )  von -∞ bis +∞  gleich null.

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@rumar Könntest du mir dann zeigen, wie ich es nun nachweisen kann?

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Könntest du mir dann zeigen, wie ich es nun nachweisen kann?

Führe halt die Integration (z.B. für das Intervall  [0 .. ∞]) doch mal wirklich durch !

Mit der Substitution  x² =: u  sollte das leicht zu machen sein.

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Also muss ich eig nur das Integral von -unendlich bis 0 der Funktion und das von 0 bis unendlich berechnen und diese addieren?

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Aus den schon besprochenen Symmetriegründen muss das Schlussergebnis entweder null oder aber gar nicht definiert sein. Es geht ja nur noch darum klar zu machen, dass das Integral von 0 bis unendlich tatsächlich einen endlichen Wert hat. Wie groß dieser (endliche) Wert dann effektiv ist, spielt dann gar keine wesentliche Rolle mehr.

Und jetzt mach doch bitte mal die Integration ...

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\( \int\limits_{0}^{\infty} \) x\( e^{-x^2} \) = \( \lim\limits_{a\to\infty} \) \( \int\limits_{0}^{a} \) x\( e^{-x^2} \) = [\( \frac{-e^{-x^2}}{2} \) ]  (Grenzen halt 0 bis a) = 0 - -1/2 = 0+1/2 = 1/2. 

Punktsymmetrie muss ich ja nicht extra aufschreiben, das ist ja echt einfach.

Wie schreibe ich nun korrekt auf, dass das Integral auf grund der Punktsymmetrie und der Existenz eines endlichen Wertes in den Grenzen den Wert 0 hat?