Beide Trapeze sind Spiegelverkehrt zu einander, aber wie beweise ich das?

Question

Beweisen Sie auf zwei verschiedene Arten, dass das Trapez ABCD kongruent zum Trapez EFGH ist (siehe Abb. 1):
a) experimentell
b) formal-symbolisch

Beide Trapeze sind Spiegelverkehrt zu einander, aber wie beweise ich das?

Answer 1

Hallo,

a) drucke das Bild auf Papier aus, schneide das rechte Viereck mit der Schere aus und lege es dann umgedreht auf das linke Viereck, so dass der Punkt \(H\) auf Punkt \(A\) und der Punkt \(G\) auf \(B\) liegt.

b) zwei Vierecke sind kongruent, wenn die vier auf einander folgenden Seiten beider Rechtecke jeweils paarweise gleich lang sind und sie in einer weiteren Eigenschaft überein stimmen (z.B. Parallelität zweier korrespondierender Seitenpaare). Vergleiche hier die Rechtecke \(ABCD\) und \(HGFE\) - das zweite Viereck hat einen negativen Umlaufsinn! $$\begin{aligned}  |AB| &= 4 = |HG| \\ |BC| &= 4 = |GF| \\ |CD| &= \sqrt{20} = |FE| \\ |DA| &= 6 = |EH| \\ BC &\parallel GF\end{aligned}$$Die Parallelität kann auch durch die Gleichheit der Länge einer Diagonale ersetzt werden \(|BD| = |GE|\) ... dann unter Berücksichtigung, dass beide Vierecke konkav sind ;-)

Comments

Vielen dank für deine mühe. Das für mich gute inspo ;)

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Du kannst Konkruenz auch über eine affine Abbildung nachweisen. Wenn das linke Rechteck \(ABCD\) sich durch die Abbildung $$x' = A \cdot x + b, \quad |\det(A)| = 1 $$in das rechte überführen lässt, liegt Konkruenz vor. In diesem Fall$$x' = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix} x + \begin{pmatrix}8\\ 6\end{pmatrix}$$mit den Punkten \(A\) bis \(D\) $$A= \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}, \space B = \begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}, \space C= \begin{pmatrix}4\\ 4\end{pmatrix}, \space D= \begin{pmatrix}0\\ 6\end{pmatrix}$$(s. Skizze in Rolands Antwort)

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PS.: \(A\) muss auch eine Orthogonalmatrix sein; d.h. die Spaltenvektoren stehen senkrecht auf einander.

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Würdest du auch diese Frage, die ich gestellt habe dir mal anschauen?

;-)

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Ich hatter vergessen, den link einzufügen ;)

https://www.mathelounge.de/737192/begrunden-beweis-inhaltlich-anschaulichen-beweis-handelt

Answer 2

Das Dreieck ΔABD ist kongruent zu dem Dreieck ΔHGE wegen Kongruenzsatz SWS.

Das Dreieck ΔDCX ist kongruent zu dem Dreieck ΔEFY wegen Kongruenzsatz SWS. Also ist |DC| = |EF|. Somit ist das Dreieck ΔBCD kongruent zu dem Dreieck ΔGFE wegen des Kongruenzsatzes SSS.

Comments

Was wird mit den

a) experimentell
b) formal-symbolisch gemeint??

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experimentell: Ausschneiden und übereinanderlegen.

formal-symbolisch: Siehe Antwort.

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Die Kongruenz der beiden Dreiecke reicht allein nicht aus, um die Konkruenz der Vierecke zu zeigen.

Man muss auch noch zeigen, dass sie einen identischen Umlaufsinnwechsel haben und dass sie an der korrespondierenden Seite aneinander liegen.

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Danke für die info ;)

Answer 3

a) experimentell

Punktspiegeln an P, dann achsenspiegeln an GF=CB-

b) formal-symbolisch

|\( \overline{AB} \)| = |\( \overline{HG} \)||\( \overline{AD} \)| = |\( \overline{HE} \)||\( \overline{BD} \)| = |\( \overline{GE} \)|

ABD kongruent EGH.

|\( \overline{CB} \)| = |\( \overline{GF} \)|
|\( \overline{EF} \)| = |\( \overline{CD} \)|
|\( \overline{BD} \)| = |\( \overline{GE} \)|

BCD kongruent EFG.

Daher ABDC kongruent EFGH.