Zeigen sie das das die Reihe(...)=1/4 Reihe (..:) ist.

Question

Aufgabe:

Es sei $$a=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ Zeigen Sie:

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...=\frac{1}{4}a$$

$$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+...=\frac{3}{4}a$$

$$1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}+...=\frac{2}{3}a$$

Ansatz:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{24}=\frac{1}{4}a$$

$$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+...=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}=\frac{3}{4}a$$

Problem:

Mit dem letzen teil habe ich Probleme die passende Reihe zu finden, über eine Idee würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Hallo

 1. woher hast du denn die Formeln mit den pi²/6 bzw. pi²/24, die müsstest du ja zeigen. ausgehen kannst du nur  von a  als Summe über 1/n²

dann: beachte 1/(2n)²=1/4*1/n² damit der direkte Beweis.

dann:   dritte Reihe: erste Reihe - 2te Reihe:  3/4=1-1/4

Gruß lul

Comments

dritte Reihe: erste Reihe - 2te Reihe:  3/4=1-1/4

Was meinst du damit?
Dritte Reihe ist 2/3.

---

Zu 1. das soll auch erstmal nur der Ansatz sein um mir klar zu machen wo ich hin will.

---

Hallo

 ich hatte als erste Reihe die mit 1/n². 2. 1/(2n)², dritte 1/(2n-1)²

Gruß lul

Answer 2

Hier mal ein paar Möglichkeiten:

https://oeis.org/search?q=1%2C+5%2C+7%2C+11%2C+13&language=english&g…