Lösen der komplexen Gleichung: z^2 + 4i-3z-16-5i*z = 0

Question

Wir suchen die Lösung für folgende Gleichung: z^2 + 4*i -3*z -16 -5*i*z=0

Answer 1

Hi,

z^2 +(-3-5i)z + (4i-16) = 0

pq-Formel:

z_1,2 = -(-3-5i)/2 ± √((-3-5i)^2/4 - (4i-16))

z_1,2 = -(-3-5i)/2 ± (3,5+0,5i)

z₁ = -2+2i

z₂ = 5+3i

 

Grüße

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Bist halt der Beste...

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Danke für die Ehrung :).

Gerne :)

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Hat eine komplexe Zahl nicht zwei Lösungen? Müsste es wegen +- nicht vier Lösungen geben?

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Also ich habe nicht mehr als diese. Reicht ja auch ;). Funktion zweiten Grades liefert 2 Nullstellen.

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Funktion zweiten Grades liefert 2 Nullstellen, so kenne ich das auch. Andererseits liefert die Berechnung einer komplexen Zahl 2 Ergebnisse und vor der wurzel steht plusminus. müssten das dann nicht vier Ergebnisse sein? Verwirrt ein wenig ich bin

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Warum sollte ein Berechnung einer komplexen Zahl 2 extra Ergebnisse liefern?

 

Nimm Dir x^2+1 = 0

Hier erhältst Du auch nur zwei Ergebnisse -> x₁ = -i und x₂ = i

Für x^2-1 = 0, ebenfalls nur zwei Ergebnisse x₁ = -1 und x₂ = 1 etc.

 

?!

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"Warum sollte ein Berechnung einer komplexen Zahl 2 extra Ergebnisse liefern?" Ganz einfach weil man obiges z = z1 +- sqrt(z2) als schreiben kann. Und sqrt(z2) ergibt zwei lösungen, z3, z4. Dann hat man z = z1 +- z3, z4. Also insgesamt z = z1 + z3, z = z1 + z4, z = z1 - z3, z = z1 - z4. Summa summarum 4 Ergebnisse. Oder was sehe ich da falsch?!

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Bin grad auf dem Sprung, und auf dem Sprung will mir nicht klar werden:

z = z1 +- sqrt(z2)

wie Du da drauf kommst ???


Bis später

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z2 = (-3-5i)^2/4 - (4i-16)

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Ja, das ist der Radikand. Was ist damit? Das ergibt eine Lösung. Dann noch das "doppelte" Vorzeichen vor der Wurzel und wir haben insgesamt 2 Lösungen und alles hat seine Richtigkeit.

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Ja, das ist der Radikand. Und die zweite Wurzel einer komplexen Zahl hat genau zwei Lösungen, die dritte Wurzel einer komplexen Zahl hat genau drei Lösungen, etc. :-)

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Wieso denn das?

sqrt(i^2) ist einfach i und nicht i bzw. -i. Wir haben da keine Gleichung, sondenr nur en Term. So auch bei uns.


z^2 = i hat zwei Lösungen, das ist richtig. Das ist ja aber durch das "doppelte" Vorzeichen schon berücksichtigt. Es gibt also nur zwei Lösungen! ;)


(Bin eine Weile weg. Geburtstagsessen :))

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Wir haben aber nicht sqrt(i^2) sondern sqrt((-3-5i)^2/4 - (4i-16)) = sqrt(12+(7 i)/2) und das ergibt zwei lösungen, nämlich 3.5 + 0.5i und -3.5 -0.5i

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Da widerspreche ich Dir ja auch nicht? Das habe ich doch schon längst so gesagt. Siehe Antwort. Wird verdeutlicht durch das ±. Genau deswegen gibt es zwei Lösungen!

Die doppelte Lösung kommt übrigens nicht aus der Wurzel selbst, sondern nur, weil es ein Bestandteil der Gleichung ist!

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Ich kapiere einfach nicht, wo mein Denkfehler sein sollte. :-/ Im Reellen schreibt man bei der Lösung ± sqrt(x) und sqrt(x) hat genau eine Lösung. Durch das ± bekommt man aber zwei Lösungen. Im Komplexen hat sqrt(z) zwei Lösungen, also logischerweise, bekommt man durch das ± vier Lösungen. Nun habe ich das mal berechnen lassen und erstaunlicherweise ergibt das in der Summe nur zwei Lösungen: √((-3-5i)2/4 - (4i-16)) = (3.5 + 0.5i, -3.5 - 0.5i). 1) -(-3-5i)/2 + (3.5 + 0.5i) = 5 + 3i 2) -(-3-5i)/2 + (-3.5 - 0.5i) = -2 + 2i 3) -(-3-5i)/2 - (3.5 + 0.5i) = -2 + 2i 4) -(-3-5i)/2 - (-3.5 - 0.5i) = 5 + 3i. Wie man sieht, sind das vier Lösungen aus denen man im Endeffekt nur zwei bekommt. Im Endeffekt hast du zwar Recht, dass es hier nur 2 Lösungen gibt, aber deine Argumentation hinkt ein wenig wie ich finde :-) Der Grund scheint ein anderer zu sein, den ich im Augenblick nicht übersehe.

Ich war zwischendurch an einem anderen Rechner und mochte mich dort nicht einloggen :D

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Ach hi gorgar :).

Ich kann Dir immer noch nicht folgen. Du hast doch eine Zahl. Beachte, dass √4 = 2 ist und nicht √4 = ±2.

Da macht es keinen Unterschied, ob die Zahl unter der Wurzel komplex ist oder nicht. Deswegen zuvor mein Beispiel: √i^2 = i und nicht ±i (bei uns ist das halt ein komplizierteres Problem, wollte es aber auf das Problem an sich reduzieren ;)).

 

(Kann natürlich auch sein, dass ich auf der Leitung stehe, was das erkennen des Problems von Dir angeht und ich die ganze Zeit an Dir vorbeischwätz *Schulter zuck*)

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Hi Unknown! :-) ;-) :P

Das ist ja gerade mein Problem zu kapieren, warum ich eine Zahl habe wenn doch √z zwei Lösungen hat, wenn es also im Grunde zwei Zahlen sind.

√((-3-5i)2/4 - (4i-16)) hat zwei lösungen: 3.5 + 0.5i und -3.5 - 0.5i

wir hatten
z = -(-3-5i)/2 ± √((-3-5i)2/4 - (4i-16))

wegen der zwei lösungen kann ich schreiben
z = -(-3-5i)/2 ± 3.5 + 0.5i und
z = -(-3-5i)/2 ± -3.5 - 0.5i

das gibt je zwei lösungen
z = -(-3-5i)/2 + 3.5 + 0.5i = 5 + 3i
z = -(-3-5i)/2 - 3.5 + 0.5i = -2 + 2i

z = -(-3-5i)/2 + -3.5 - 0.5i = -2 + 2i
z = -(-3-5i)/2 - -3.5 - 0.5i = 5 + 3i

lustigerweise bleiben tatsächlich nur zwei lösungen übrig
z1 = 5 + 3i und z2 = -2 + 2i

das hast du ja offensichtlich schon gewusst, ich jedoch nicht und irgendwie klar ist es mir immer noch nicht. meine leitung heute wohl besonders extralang ist :-/

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√((-3-5i)2/4 - (4i-16)) hat zwei lösungen: 3.5 + 0.5i und -3.5 - 0.5i

Nein, das ist nicht richtig. Aus einer Wurzel kann nur eine Zahl entstehen. Das versuchte ich Dir ja in meinem Vorbeitrag klar zu machen.

Ja: z^2 = (-3-5i)^2/4 - (4i-16) hat zwei Lösungen für z.

Nein: √((-3-5i)2/4 - (4i-16)) -> da gibt es nur eine "Lösung" oder besser "Vereinfachung.

Die erste Zeile wird aber durch das ± bereits berücksichtigt. Deswegen gibt es das bei der pq-Formel auch ;).

 

Beachte den Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Zahl! Der Wert einer Zahl ist immer eindeutig!

Um mich nochmals zu zitieren:

Du hast doch eine Zahl. Beachte, dass √4 = 2 ist und nicht √4 = ±2.

Deswegen zuvor mein Beispiel: √i² = i und nicht ±i

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ah! jetzt wird mir so langsam klar, was du meintest, es dämmert! :-)

der groschen fiel nur centweise :-/ .... aber immerhin! :-)

danke für deine geduld!

lg

gorgar

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Freut mich ;).

Kein Ding und immer wieder gerne :).