Konvergenz einer Folge vereinfachen und berechnen

Question

Kann man das hier noch irgendwie vereinfachen, so dass ich nicht "3 durch 0" habe? Es läuft für gegen unendlich, deswegen muss es ja auch irgendwie möglich sein, dass der Nenner ohne N steht.

$$ \lim _{ n\quad \rightarrow \infty  }{ \frac { (3{ n }^{ 3 }+{ n }^{ 2 }+1){ n^{ 3 }+1 } }{ 5{ n }^{ 5 }+2 }  } =\lim _{ n\quad \rightarrow \infty  }{ \frac { 3{ n }^{ 6 }+{ n }^{ 5 }+{ n^{ 3 }+1 } }{ 5{ n }^{ 5 }+2 }  } =\lim _{ n\quad \rightarrow \infty  }{ \frac { 3+\frac { 1 }{ n } +{ \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 6 } }  } }{ \frac { 5 }{ n } +\frac { 2 }{ { n }^{ 6 } }  }  } $$

Vielleicht mit dem Kehrwert der Nenner multiplizieren?

Comments

Ja. Rechne oben und unten mal n.

Alternativ: von Anfang an nur durch die höchste Potenz des Nenners, also n^5 dividieren.

Der Grenzwert ist dann halt unendlich.

Answer 1

lim n→∞ (3n^6 + n^5 + n^3 + 1) / (5n^5 + 2)

Wir klammern im Zähler und Nenner nur die Höchste Potenz von n aus

lim n→∞ n^6(3 + 1/n + 1/n^3 + 1/n^6) / (n^5(5 + 2/n^5))

Jetzt kürzen wir das n sooft es geht weg. Also 5 mal

lim n→∞ n(3 + 1/n + 1/n^3 + 1/n^6) / (5 + 2/n^5)

Wenn n→∞ geht, Dann steht jetzt im Zähler 3n und im Nenner 5. Also geht der Bruch gegen 3/5 * n. Für n→∞ also auch gegen Unendlich

lim n→∞ 3/5 * n = ∞