Um welche Zahl müssen 2 gegenüberliegende Seiten eines Quadrats vergrößert werden, damit die Diagonale des …

Question

Aufgabe:

Um welche Zahl müssen 2 gegenüberliegende Seiten eines Quadrats vergrößert werden, damit die Diagonale des entstehenden Rechtecks 5 Mal so lang ist, wie die Diagonale des Quadrats?

Answer 1

Das Quadrat habe die Seitenlänge a.

Die Diagonalen des Quadrats haben dann laut Pythagoras die Länge a√2.

Das Rechteck hat die Seitenlängen a und a+x.

Die Diagonalen des Rechtecks haben dann laut Pythagoras die Länge √(a² + (a + x)²).

Laut Aufgabenstellung soll

        √(a² + (a + x)²) = 5·a√2

gelten. Löse diese Gleichung nach x.

Comments

Einfach genial. Warum komm ich da nicht drauf? Danke sehr gut erklärt, so dass ich es auch verstehe.

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Warum komm ich da nicht drauf?

"Berechne mit dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten 3 und 4."

Hier ist klar, welcher Satz angewendet wird und welche Zahlen verwendet werden sollen.

In deiner Aufgabe ist es nicht klar. Aus der Vielfalt der mathematischen Sätze muss der herausgesucht werden, der einen ein Stück näher zur Lösung bringt. Das ist bedeutend schwieriger.

Was da helfen könnte ist, den Sachverhalt durch Gleichungen zu beschreiben:

damit die Diagonale des entstehenden Rechtecks 5 Mal so lang ist, wie die Diagonale des Quadrats

d_Q: Diagonale des Quadrats

d_R: Diagonale des Rechtecks

Dann soll

        d_R = 5·d_Q

sein. Gleichungen sind nicht nur etwas, was man lösen kann, sondern auch ein Mittel, Sachverhalte zu beschreiben.

Um welche Zahl müssen 2 gegenüberliegende Seiten eines Quadrats vergrößert werden

Variablen für die Unbekannten festelegen und Terme aufstellen.

        a: Seitenlänge des Quadrates

        x: Länge der Verlängerung

        a+x: Länge der Rechteckseite nach Verlängerung

Alles in eine Zeichnung eintragen und dann sieht man, dass man mittels Pythagroas d_Q und d_R durch a und x ausdrücken kann.

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Warum komm ich da nicht drauf?

Ich vermute, weil Du es Dir nicht aufzeichnest! So wie hier:

Nehme Papier mit Kästchen. Zeichen ein Quadrat \(ABCD\) mit der Seitenlänge 1cm (2 Kästchen a 0,5cm). Dann konstruiere die 5-fache Diagonale mit dem Punkt \(P\) bei \(P=(5;5)\) bezogen auf \(A=(0;0)\). Der Kreis um \(A\) mit Radius \(|AP|\) schneidet die Verlängerung der Seite \(BC\) bei \(X\). Das Dreieck \(\triangle ABX\) ist nun das halbe Rechteck mit der 5-fachen Diagonale des Quadrats.

Messe die Strecke \(|CX| = 6\text{cm}\) und kontrolliere per Rechnung nach Pythagoras im Dreieck \(\triangle ABX\): $$\begin{aligned} |AB|^2 + |BX|^2 &= |AX|^2 \\ 1^2 + (6+1)^2 &= 50 \end{aligned}$$Und \(\sqrt{50}= 5 \sqrt 2\) ist die 5-fache Länge der Diagonale des Quadrats.

Jetzt hast Du zwar die Länge noch nicht berechnet, aber sicher genug Informationen zusammen. Setze nun das unbekannte Stück \(|BX| = x\) und überlege, wie Du dies oben in die Gleichung des Pythagoras unterbringst.

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass der Faktor k gesucht ist, um den die Seiten verlängert werden müssen.

Quadrat: a^2+a^2=d^2.     (1)

Rechteck: a^2+ (k*a)^2=(5d)^2=25d^2      (2)

Nun multipliziere ich die erste Gleichung mit 25:

25a^2+25a^2=25d^2

Zusammenfassen und mit (2) gleichsetzen:

50a^2=a^2+k^2*a^2

49a^2=k^2*a^2

k^2=49

k=7

Die Seiten müssen auf das 7-fache verlängert werden.