Gleichung der Tangente im kurvenpunkt

Question

Gegeben \( y=f(x)=\sqrt{25-x^{2}} \)

berechne:
a) die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt \( \mathrm{P}(4 / 3) \) mit Hilfe der Differentialrechnung
b) die Steigung der Tangente ein weiteres Mal ohne Differentialrechnung.

Bitte kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen bzw. mir die Rechenwege erklären wie man auf diese Lösungen kommt.

Answer 1

a) f '(4)=-4/3=m. Tangentengleichung: y=mx+b. m und P einsetzen, ergibt b=25/3: y=-4/3x+25/3.

b) Der Graph ist ein Halbkreis um (0|0) mit dem Radius 5. Der Radius liegt auf y=3/4·x. Die Tangente ist senkrecht zum Radius und hat die negativ reziproke Steigung -4/3.

Answer 2

a) f '(x) = 1/2*(25-x^2)^(-1/2)*(-2x) = -x/(25-x^2)^(1/2)

f '(4)= -4/3

t(x)= (x-4)*(-4/3)+3 = ...