Die Polynomreihe zur Funktion f(x) = cos(x) -1

Question

Aufgabe:

Die folgende Potenzreihe $$ \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}}x^{2n} $$ entspricht $$ f(x) = cos(x) - 1 $$ , das findet man in entsprechenden Lehrbüchern. Womit ich leider nicht klar komme, ist der Nachweis der o.g. Beziehung.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich nicht einmal einen Ansatz und der würde mir schon weiter helfen.

Mit Hilfe des Taylorpolynoms würde ich das schon hinbekommen. Die Frage ist, gibt es da eine "schönere" Lösung, die nicht soviel voraussetzt?

Ich schreibe schon einmal vielen Dank für einen "Schubs" in die richtige Richtung.

Comments

Definiere \(h(x)=\sin^2x+\cos^2x\). Rechne nach, dass \(h^\prime(x)=0\) für alle \(x\) ist. Also ist \(h\) konstant, d.h. \(h(x)=c\). Insbesondere ist \(c=h(0)=1\).

Answer 1

Hallo

 nein ohne TR des cos gibt es da nix. aber da die Ableitungen in 0 ja immer wider dieselben sind, abwechseln -1,0,+1,0...

ist die TR ja auch sehr schnell erstellt.

Gruß lul

Comments

Schade, aber trotzdem danke für deine Hilfe. Dann mache ich es halt so. Passt schon.

---

Hallo

 dein "schade" lässt anklingen, dass dir nicht klar ist, was nicht rationale Funktionen sind. Wie ist die cos- Funktion denn für dich definiert?

Gruß lul

---

Zuerst einmal als trigonometrische Funktion, wie man es aus der Schule kennt. Das Problem war allerdings ein anderes: Gegeben war die o.g. Potenzreihe und eine zweite Potenzreihe, welche die Sinusfunktion beschreibt. Ich soll nachweisen, dass die Summe der Quadrate der beiden Reihen immer 1 ist.

Da ich bei der Herleitung der Funktionen aus der gegebenen Reihe bzw. dem Nachweis mittels Binomialkoeffizienten und binomischem Lehrsatz etwas auf dem Schlauch stehe, dachte ich, ich mache es andersherum. Ich weise nach, dass sich die beiden trigonometrischen Funktionen mittels der beiden Reihen beschreiben lassen und dann ist klar, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus 1 ergibt.

Macht das Sinn?

Und Grüße zurück.

PS: Es ist schon ziemlich Klasse, wie schnell man hier Hilfe bekommt und sich die Leute wirklich Mühe geben, dass man die Antworten nachvollziehen kann.